Question

луч аd биссектриса угла А. Прямая BC пересекает стороны угла А в точках В и С так что угол ADB=углу ADC. Докажите что треугольник BCA равнобедренный​

Answer 1

Ответ:

По условию <BAD=<CAD, <ADB=<ADC.

Сторона AD - общая для треугольников ABD и ACD.

Значит эти треугольники равны и отсюда вытекает равенство сторон АВ и АС.

Answer 2

Для доказательства равнобедренности треугольника BCA нам нужно использовать информацию о том, что AD является биссектрисой угла A, а также о том, что угол ADB равен углу ADC.

Обозначим угол ADB как α, угол ADC как β, угол BCA как γ. Теперь у нас есть несколько фактов:

1. Угол ADB = угол ADC (по условию). 2. Угол ADB + угол BDC = 180° (сумма углов на прямой). 3. Угол BDC = угол BCA (по свойству вертикальных углов). 4. Угол ADB + угол BCA = 180°.

Теперь рассмотрим треугольник BCA. Мы знаем, что угол ADB + угол BCA = 180°. Но у нас также есть угол ADB = угол ADC. Подставим это значение:

(угол ADC) + (угол BCA) = 180°.

Таким образом, у нас есть уравнение:

α + γ = 180°.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. У нас есть две равные дуги: угол ADB и угол ADC. По свойству биссектрисы мы знаем, что BD/CD = AB/AC.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У нас есть равенство BD/CD = AB/AC. Рассмотрим также равенство углов ABD и ADC. Согласно угловой стороне угла, мы также можем записать, что BD/CD = sin(ADC)/sin(ABD).

Совместим оба выражения:

AB/AC = sin(ADC)/sin(ABD).

Теперь мы видим, что у нас есть два выражения, содержащих отношения сторон треугольника ABC. Мы можем использовать их для доказательства равнобедренности.

Итак, давайте выразим sin(ADC) и sin(ABD) через угол γ (угол BCA). Рассмотрим угол ADC:

sin(ADC) = sin(α + γ) = sinα * cosγ + cosα * sinγ.

Теперь рассмотрим угол ABD:

sin(ABD) = sinα.

Теперь подставим эти значения в наше уравнение:

AB/AC = (sinα * cosγ + cosα * sinγ) / sinα.

Упростим это выражение:

AB/AC = cosγ + (sinα/sinα) * sinγ = cosγ + sinγ.

Таким образом, мы получили, что AB/AC = cosγ + sinγ. Но мы также знаем, что BD/CD = cosγ. Таким образом, у нас есть:

AB/AC = BD/CD + sinγ.

Теперь вернемся к уравнению α + γ = 180°. Подставим sinγ = sin(180° - α) = sinα в наше уравнение:

AB/AC = BD/CD + sinα.

Теперь у нас есть равенство отношений сторон треугольника ABC, и мы видим, что это означает равнобедренность треугольника.