Question

в прямоугольном треугольнике больший катет на 1 см меньше гипотенузы,а меньший катет на 32 см меньше гипотенузы. найди стороны треугольника ​

Answer 1

Ответ:

9см, 40см, 41 см

Объяснение:

Пусть гипотенуза с равна х см. Тогда меньший катет а равен (х-32) см, а больший катет b равен (х-1) см.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов:

${a}^{2} + {b}^{2} = {c}^{2} \\ \\ ({x - 32})^{2} + ({x - 1})^{2} = {x}^{2} \\ \\ {x}^{2} - 64x + 1024 + {x}^{2} - 2x + 1 - {x}^{2} = 0 \\ \\ {x}^{2} - 66x + 1025 = 0 \\ \\ d = {b}^{2} - 4ac = {66}^{2} - 4 \times 1025 = 4356 - 4100 = 256 = {16}^{2} \\ \\ x_1 = \dfrac{ - b + \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{ 66 + 16}{2} = 41 \\ \\ x_2 = \dfrac{ - b - \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{66 - 16}{2} = 25$

$x_2=25$ - не подходит, т.к. в этом случае меньший катет будет меньше нуля:

х-32 = 25-32 = -7

Поэтому гипотенуза с = 41 см, катет а = х-32 = 41-32 = 9 см, катет b = x-1 = 41-1 = 40 см

Answer 2

Давайте обозначим стороны прямоугольного треугольника следующим образом:

- Пусть \( a \) - это меньший катет. - Пусть \( b \) - это больший катет. - Пусть \( c \) - это гипотенуза.

Условие задачи утверждает, что больший катет на 1 см меньше гипотенузы (\( b = c - 1 \)) и меньший катет на 32 см меньше гипотенузы (\( a = c - 32 \)).

Мы также знаем, что в прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора, которая гласит:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Теперь подставим выражения для \( a \) и \( b \):

\[ c^2 = (c - 32)^2 + (c - 1)^2 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ c^2 = c^2 - 64c + 1024 + c^2 - 2c + 1 \]

Теперь объединим подобные члены:

\[ c^2 = 2c^2 - 66c + 1025 \]

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

\[ 0 = c^2 - 66c + 1025 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -66 \), \( c = 1025 \). Подставим значения:

\[ c = \frac{66 \pm \sqrt{(-66)^2 - 4(1)(1025)}}{2(1)} \]

\[ c = \frac{66 \pm \sqrt{4356 - 4100}}{2} \]

\[ c = \frac{66 \pm \sqrt{256}}{2} \]

Теперь два возможных значения для \( c \):

\[ c_1 = \frac{66 + 16}{2} = 41 \]

\[ c_2 = \frac{66 - 16}{2} = 25 \]

Таким образом, у нас два возможных значения для гипотенузы: 41 см и 25 см. Теперь найдем значения \( a \) и \( b \) для каждой из них.

1. При \( c = 41 \): - \( a = 41 - 32 = 9 \) - \( b = 41 - 1 = 40 \)

2. При \( c = 25 \): - \( a = 25 - 32 \) (что отрицательно, поэтому это не подходит) - \( b = 25 - 1 = 24 \)

Таким образом, возможные стороны треугольника: 9 см, 40 см, 41 см и 24 см, 25 см, 41 см.