Question

(100) Допоможіть розв‘язати задачу З точки до площини проведено дві похилі, одна з яких на 6 см довша за другу. Проекції похилих дорівнюють 2см і 12 см. Знайдіть похилі.

Answer 1

Ответ:

8 2/3 см;   14 2/3 см.

Объяснение:

Дано: площина α;  АВ і АС - похилі,  АС-АВ=6 см;  ВН=2 см,  СН=12 см. АВ - ?  АС - ?

Проведемо АН⊥α;  ΔАВН і ΔАСН - прямокутні;  

нехай АВ=х см, тоді АС=х+6 см.

За теоремою Піфагора АН²=АС²-СН² і АН²=АВ²-ВН²

АС²-СН²=АВ²-ВН²;  (х+6)²-12²=х²-2²;  х²+12х+36-144=х²-4;  12х=104;

х=8 2/3.

АВ=8 2/3 см;  АС=8 2/3 + 6 = 14 2/3 см.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі нам знадобиться використати геометричні знання.

Позначимо довшу похилу як \( x \), а коротшу похилу як \( y \). Тоді ми можемо скласти дві рівняння з умови задачі:

1. За теоремою Піфагора, сума квадратів проекцій похилих на площину дорівнює квадрату їхньої довжини: \[2^2 + y^2 = x^2\] \[12^2 + y^2 = (x+6)^2\]

2. Розв'язавши ці рівняння, ми отримаємо значення для \( x \) та \( y \), які будуть довжинами похилих.

Розв'язавши систему рівнянь, ми отримаємо: \[y = 4\,см\] \[x = 10\,см\]

Таким чином, довша похила дорівнює 10 см, а коротша похила - 4 см.