Question

В параллелограмме ABCD сторона AB=3м, а угол B=120°. Биссектриса угла B делит диагональ AC в отношении 2:1, считая от вершины C. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Answer 1

Углы A и B параллелограмма - внутренние односторонние при параллельных, сумма 180.

∠BAD=180-∠ABC =180-120 =60°

∠ABF =B/2 =120/2 =60° (BF - биссектриса)

△ABF - равносторонний (т.к. два угла 60°) => AF=AB=3

△BEC~△FEA (по накрест лежащим при AD||BC)

=> BC/AF=CE/AE=2/1 => BC=2AF=6

S(ABCD) =AB*BC*sin(ABC) =3*6*sin120 =9√3 (м^2)

Answer 2

У нас есть параллелограмм ABCD, где AB = 3м и угол B = 120°. Также известно, что биссектриса угла B делит диагональ AC в отношении 2:1, считая от вершины C. Мы должны найти площадь параллелограмма ABCD.

Пусть точка E - точка пересечения биссектрисы угла B и диагонали AC. Поскольку биссектриса делит диагональ AC в отношении 2:1, то AC = 2CE.

В треугольнике ACE, применим теорему косинусов: AC² = CE² + AE² - 2 * CE * AE * cos(A)

Угол ACE равен половине угла B, то есть 60°. Подставим известные значения в формулу: (2CE)² = CE² + AE² - 2 * CE * AE * cos(60°) 4CE² = CE² + AE² - 2 * CE * AE * 1/2 4CE² = CE² + AE² - CE * AE

Так как сторона AB параллельна стороне CD, то AB || CD. А значит, угол BCD равен 180° - 120° = 60°. Угол BCD также равен углу ACE. Значит, треугольники BCD и ACE равны по сторонам и углам, а значит, их стороны CD и CE равны.

Таким образом, CE = CD = 2CE.

Вернемся к уравнению: 4CE² = CE² + AE² - CE² * AE 3CE² = AE² - CE² * AE 3CE² = AE * (AE - CE²)

Учитывая, что AE ≠ 0 и CE ≠ 0, мы можем сократить AE и \CE² на (AE - CE²):

3CE = AE

Теперь мы можем найти площадь параллелограмма ABCD. Площадь параллелограмма равна произведению длины биссектрисы угла B (CE) на высоту параллелограмма (проведенную из вершины B и перпендикулярную стороне AB). Высота параллелограмма равна AE.

Так как CE = 1/3 AC, а AC = 3м, то CE = 1м.

Также мы знаем, что 3CE = AE. Подставив значение CE, получим AE = 3м.

Окончательно, площадь параллелограмма ABCD равна CE * AE = 1м * 3м = 3м².

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна 3 квадратным метрам.