Question

1. Хорды окружности АК и МЕ пересекаются в точке О. Найти длину отрезка МО, если АО= 4см, ОЕ = 5 см, ОК = 15 см. 2. Хорды окружности АК и МЕ пересекаются в точке О. Найти длину отрезка МО и ОЕ, если АО = 2 см, ОК = 12 см, МЕ = 10 см. 2. Хорды окружности АВ и СР пересекаются в точке Е. Найти длину отрезка РЕ и СЕ, если СР = 12 см, АЕ=7 см, ЕВ = 4 см. 3. Хорды окружности АВ и СД пересекаются в точке О. Найти длину отрезка ДО и ОС, если АО = 12 см, ОВ=4 см, ДО : ОС = 3 : 4. 3. Хорды окружности МК и СД пересекаются в точке А. Найти длину отрезка ДО и ОС, если МА = 6 см, АК=15 см, СА : АД = 2 : 5.

Answer 1

Объяснение:

Т.к. середина гипотенузы является центром описанной окружности,

составим уравнение 5a^2=5^2 где а-меньшее расстояние от центра до катета

a=sqrt(5)

по теореме Пифагора  R^2-a^2=(1/2l)^=25-5=20   l^2=80 (l-длина катета)

длина второго катета (100-80=20)  sqrt(20)=2sqrt(5)

длины катетов 2sqrt(5) и 4sqrt(5)

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из заданных случаев.

1. Хорды окружности АК и МЕ пересекаются в точке О. Найти длину отрезка МО, если АО = 4 см, ОЕ = 5 см, ОК = 15 см.

Сначала обратим внимание, что треугольник AOE прямоугольный (так как ОК — диаметр окружности, а хорда МЕ проходит через центр).

Используем теорему Пифагора: \[ AO^2 + OE^2 = AE^2 \]

\[ 4^2 + 5^2 = AE^2 \] \[ 16 + 25 = AE^2 \] \[ 41 = AE^2 \]

\[ AE = \sqrt{41} \]

Теперь мы знаем длину отрезка AE. Так как ОК — радиус окружности, а ОМ — половина хорды МЕ, то:

\[ OM = \frac{1}{2} \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{41} \]

2. Хорды окружности АК и МЕ пересекаются в точке О. Найти длину отрезка МО и ОЕ, если АО = 2 см, ОК = 12 см, МЕ = 10 см.

Аналогично предыдущему случаю, используем теорему Пифагора:

\[ AO^2 + OK^2 = AK^2 \]

\[ 2^2 + 12^2 = AK^2 \] \[ 4 + 144 = AK^2 \] \[ 148 = AK^2 \]

\[ AK = \sqrt{148} = 2\sqrt{37} \]

Теперь, так как ОМ — половина хорды МЕ, а ОК — радиус окружности, то:

\[ OM = \frac{1}{2} \cdot ME = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \]

\[ OE = OK - OM = 12 - 5 = 7 \]

3. Хорды окружности АВ и СР пересекаются в точке Е. Найти длину отрезка РЕ и СЕ, если СР = 12 см, АЕ = 7 см, ЕВ = 4 см.

Из треугольника ABE: \[ AE + EV = AB \] \[ 7 + 4 = AB \] \[ AB = 11 \]

Теперь, так как СР — хорда окружности, а ЕВ — половина этой хорды, то:

\[ SR = 2 \cdot EV = 2 \cdot 4 = 8 \]

Также, используя теорему Пифагора в треугольнике СРЕ: \[ SE^2 + ER^2 = SR^2 \]

\[ SE^2 + (AE - EV)^2 = SR^2 \] \[ SE^2 + (7 - 4)^2 = 8^2 \] \[ SE^2 + 3^2 = 8^2 \] \[ SE^2 + 9 = 64 \] \[ SE^2 = 55 \]

\[ SE = \sqrt{55} \]

4. Хорды окружности АВ и СД пересекаются в точке О. Найти длину отрезка ДО и ОС, если АО = 12 см, ОВ = 4 см, ДО : ОС = 3 : 4.

Из условия задачи мы видим, что отношение ДО к ОС равно 3:4, поэтому можно представить ДО как 3x и ОС как 4x, где x - некоторый коэффициент.

Также, зная, что ОВ — радиус окружности, мы можем записать: \[ AO = OV + VA \] \[ 12 = 4 + VA \] \[ VA = 8 \]

Теперь можем выразить ОС и ДО через x: \[ VA + AO = VA + OV + OD \] \[ 8 + 12 = 4 + OD \] \[ OD = 16 \]

Таким образом, мы нашли, что ДО = 16 см, а ОС = 4x = 4 \(\times\) 4 = 16 см.

5. Хорды окружности МК и СД пересекаются в точке А. Найти длину отрезка ДО и ОС, если МА = 6 см, АК = 15 см, СА : АД = 2 : 5.

Аналогично предыдущему случаю, представим отношение СА к АД как 2x к 5x.

Также, зная, что МА — радиус окружности, можем записать: \[ SA + AM = SA + AK - MK = SA + AK - SA = AK \] \[ SA = MK \]

Теперь можем выразить СА и АД через x: \[ SA + AD = AK \] \[ MK + 5x = 15 \] \[ 6 + 5x = 15 \] \[ 5x = 9 \] \[ x = \frac{9}{5} \]

Теперь можем вычислить СА и АД: \[ SA = MK = 6 \] \[ AD = 5x = 5 \times \frac{9}{5} = 9 \]

Таким образом, мы нашли, что ДО = 6 см, а ОС = AD = 9 см.