Question

Из вершины прямого угла треугольника проведен перпендикуляр, который делит гипотенузу на отрезки, разность которых равна 21 см. Вычисли гипотенузу треугольника, если длина перпендикуляра равна 10 см. Ответ:

Answer 1

Ответ:

ΔABC ,  ∠C=90° , AH⊥BC ,  обозначим  h=AH=10 см ,  AH-BH=a-b=21 см .

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу :  h²=ab .

$\left\{\begin{array}{l}10^2=ab\\a-b=21\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}ab=100\\a=b+21\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}(b+21)b=100\\a=b+21\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b^2+21b-100=0\\a=b+21\end{array}\right$

$b^2+21b-100=0\ \ ,\ \ \ D=21^2+400=831=29^2\ \ ,\ \ b_1=-25\ ,\ b_2=4$

Отрицательное значение b не подходит .

$b=4\ ,\ \ a=4+21=25$

Гипотенуза  $AB=a+b=25+4=29$  .

Answer 2

Пусть гипотенуза треугольника равна а, а отрезки, на которые делится гипотенуза, равны х и (а - х) .

По условию, разность этих отрезков равна 21 см:

(а - х) - х = 21

А учитывая, что длина перпендикуляра равна 10 см, можно записать:

х^2 + 10^2 = а^2

С учетом этих двух уравнений можно решить систему уравнений и найти значение а:

а = √(х^2 + 100)

Возвращаясь к первому уравнению:

(а - х) - х = 21

а - 2х = 21

2х = а - 21

Подставим значение а из первого уравнения:

2х = √(х^2 + 100) - 21

Возведем в квадрат обе части уравнения:

4х^2 = х^2 + 100 - 42√(х^2 + 100) + 441

3х^2 - 441 = -42√(х^2 + 100)

Перенесем все в левую часть уравнения и сократим на -3:

х^2 - 49 = 14√(х^2 + 100)

Возведем это уравнение в квадрат:

(х^2 - 49)^2 = 196 (х^2 + 100)

Раскроем скобки:

x^4 - 98x^2 + 2401 = 196x^2 + 19600

Сгруппируем все члены в одну часть уравнения:

x^4 - 98x^2 - 196x^2 + 19600 - 2401 = 0

x^4 - 294x^2 - 17601 = 0

Это квадратное уравнение относительно х^2. Решим его с помощью подстановки:

u = x^2

u^2 - 294u - 17601 = 0

Используя формулу дискриминанта, найдем значения u:

Д = b^2 - 4ac = 294^2 - 4*1*(-17601) = 86436

u1 = (294 + √86436)/2 = (294 + 294)/2 = 294

u2 = (294 - √86436)/2 = (294 - 294)/2 = 0

Возвращаясь к подставленным значениям:

x^2 = 294

x = ± √294

Таким образом, длина отрезков разбиения гипотенузы треугольника равна ± √294 см.

Если длина перпендикуляра равна 10 см, то гипотенузу треугольника можно найти, подставив значение х в уравнение:

а = √(х^2 + 100) = √(294 + 100) = √394 = 19.848 см

Таким образом, гипотенуза треугольника равна примерно 19.848 см.