Question

. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена высота ВD. Докажите, что ∆АВD=∆СВD.

Answer 1

Т.к. ВМ — медиана равнобедренного треугольника, то она является и высотой и биссектрисой. Таким образом, ∠AMD = ∠DMC = 90°, ∠ABD = ∠DBC,

1) В ΔABD и ΔDBC: АВ = ВС (т.к. ΔАВС равнобедренный), BD — общая.

∠ABD = ∠DBC (т.к. ВМ — биссектриса). Таким образом, ΔABD = ΔDBC по 1-му признаку равенства треугольников.

2) В ΔADM и ΔMDC:

АМ = МС (т.к. ВМ — медиана)

DM — общая ∠AMD = ∠DMC = 90о Таким образом, ΔADM = ΔMDC по 2-м катетам, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства равенства треугольников ∆АВD и ∆СВD в равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и проведенной высотой ВD, мы можем использовать два подхода: подобие треугольников и равенство углов.

Подобие треугольников

Мы знаем, что в равнобедренном треугольнике две стороны, исходящие из вершины, противоположной основанию, равны. В данном случае, сторона АВ и сторона СВ равны, так как треугольник АВС - равнобедренный.

Также мы знаем, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины, противоположной основанию, делит основание пополам. В данном случае, высота ВD делит основание АС пополам.

Таким образом, у нас есть две равные стороны: АВ и СВ, и общая сторона ВD, которая делит основание АС пополам. Следовательно, по свойству подобия треугольников, треугольники ∆АВD и ∆СВD являются подобными.

Равенство углов

Другой способ доказательства равенства треугольников - это равенство углов. В данном случае, мы можем доказать, что углы ∠АВD и ∠СВD равны.

Так как высота ВD является перпендикуляром к основанию АС, то она будет образовывать прямой угол с основанием. Таким образом, угол ∠АВD и угол ∠СВD оба будут равны 90 градусам.

Таким образом, мы доказали, что в равнобедренном треугольнике ∆АВD с основанием АС и проведенной высотой ВD, треугольники ∆АВD и ∆СВD равны по подобию и равенству углов.