Question

Знайти проекцію точки M(3;-2;0) на площину 3x-2y+z+1=0

Answer 1

Для того чтобы найти проекцию точки M(3;-2;0) на плоскость 3x-2y+z+1=0, нужно найти координаты точки P, которая является перпендикулярной плоскости и проходит через точку M.

1. Найдем вектор нормали плоскости. Уравнение плоскости можно записать в виде общего уравнения плоскости: 3x - 2y + z + 1 = 0. Коэффициенты при переменных x, y и z соответственно равны 3, -2 и 1. Таким образом, вектор нормали будет равен N(3, -2, 1).

2. Найдем вектор PM, который соединяет точку M с произвольной точкой на плоскости. Пусть произвольная точка на плоскости имеет координаты (x, y, z). Тогда PM = (x-3, y+2, z-0).

3. Вектор PM должен быть перпендикулярен вектору нормали. Значит, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

N • PM = 0 (3, -2, 1) • (x-3, y+2, z-0) = 0 3(x-3) - 2(y+2) + (z-0) = 0 3x - 9 - 2y - 4 + z = 0

4. Подставим координаты точки M в уравнение:

3(3) - 9 - 2(-2) - 4 + 0 = 9 - 9 + 4 = 4

Таким образом, получаем уравнение:

3x - 2y + z = 13.

5. Так как мы ищем точку проекции на плоскость, то в уравнении нужно опустить свободный член. Получаем окончательное уравнение плоскости:

3x - 2y + z = 0

Таким образом, проекция точки M(3;-2;0) на плоскость 3x-2y+z+1=0 будет иметь координаты (3, -2, -13).