Question

Кут між векторами a і b дорівнює 120° |a|=|b|=1. Обчисліть (2a - b) (a-b)​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

(2a-b)(a-b)=2a²-2ab-ba+b²=2*1-3*1*1*cos120+1=3+3cos60=3+3*0,5=4,5

Answer 2

Для розв'язання цього завдання використаємо формули для скалярного та векторного добутку векторів.

Дано, що кут між векторами \( \mathbf{a} \) і \( \mathbf{b} \) дорівнює 120°, а також \( |\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 1 \).

Скалярний добуток векторів \( \mathbf{a} \) і \( \mathbf{b} \) визначається за формулою:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta) \]

де \( \theta \) - кут між векторами. У нашому випадку \( \theta = 120° \). Підставимо відомі значення:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(120°) \]

Варто зазначити, що \(\cos(120°) = -\frac{1}{2}\). Таким чином,

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -\frac{1}{2} \]

Тепер розглянемо векторний добуток \( \mathbf{2a} - \mathbf{b} \). Векторний добуток визначається за формулою:

\[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = |\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}| \cdot \sin(\theta) \cdot \mathbf{n} \]

де \( \theta \) - кут між векторами, а \( \mathbf{n} \) - одиничний вектор, перпендикулярний площині, утвореній векторами \( \mathbf{u} \) і \( \mathbf{v} \). У нашому випадку \( \theta = 120° \), і можна взяти \( \mathbf{n} \) у напрямку, який визначається правилом лівої руки (за годинниковою стрілкою).

\[ \mathbf{2a} - \mathbf{b} = 2\mathbf{a} \times \mathbf{b} - \mathbf{b} \times \mathbf{b} \]

Оскільки \( \mathbf{b} \times \mathbf{b} = \mathbf{0} \) (векторний добуток вектора на себе), то

\[ \mathbf{2a} - \mathbf{b} = 2\mathbf{a} \times \mathbf{b} \]

Підставимо відомі значення:

\[ \mathbf{2a} - \mathbf{b} = 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120°) \cdot \mathbf{n} \]

Знову ж таки, \(\sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Таким чином,

\[ \mathbf{2a} - \mathbf{b} = \sqrt{3} \cdot \mathbf{n} \]

Тепер розглянемо вираз \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \). Аналогічно,

\[ \mathbf{a} - \mathbf{b} = \sqrt{3} \cdot \mathbf{n} \]

Отже, результат виразу \( \mathbf{2a} - \mathbf{b} + (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \) буде:

\[ \sqrt{3} \cdot \mathbf{n} + \sqrt{3} \cdot \mathbf{n} = 2\sqrt{3} \cdot \mathbf{n} \]

Де \(\mathbf{n}\) - одиничний вектор, перпендикулярний площині, утвореній векторами \( \mathbf{a} \) і \( \mathbf{b} \).