Question

На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяли точки М и К так, что АМ=СК, ВМ=ВК. Докажите, что АК=СМ.

Answer 1

Ответ:

Угол MPK не может быть равен 90 градусов, т.к. равен 90 градусам угол MKP, а в треугольнике MKP может быть не более одного прямого угла.

углы MKA и AKP по условию равны половинам углов BKA и AKC. Тогда

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства равенства отрезков \( AK \) и \( CM \) воспользуемся свойствами треугольников и равенством отрезков.

1. Рассмотрим треугольники \( AMK \) и \( CKV \). У нас есть:

\[ AM = CK \] (по условию)

\[ VM = VK \] (по условию)

\[ \angle AMK = \angle CKV \] (по общему углу)

Из этих данных мы можем сделать вывод, что треугольники \( AMK \) и \( CKV \) равны по стороне-углу-стороне (сокращенно СУС).

2. Теперь рассмотрим треугольники \( ABM \) и \( CBK \). У нас есть:

\[ AM = CK \] (по условию)

\[ BM = BK \] (по условию)

\[ \angle AMB = \angle CKB \] (по общему углу)

Из этих данных мы можем сделать вывод, что треугольники \( ABM \) и \( CBK \) равны по стороне-углу-стороне (СУС).

3. Теперь объединим результаты из пунктов 1 и 2. Имеем:

- Треугольники \( AMK \) и \( CKV \) равны по СУС. - Треугольники \( ABM \) и \( CBK \) равны по СУС.

Из этого следует, что треугольники \( ABM \) и \( CBK \) равны всеми тремя сторонами.

4. Следовательно, углы против равных сторон в этих треугольниках также равны. В частности, угол \( \angle AMB \) равен углу \( \angle CKB \).

5. Рассмотрим треугольники \( AKM \) и \( CKV \). У нас есть:

\[ \angle AMK = \angle CKV \] (из пункта 1)

\[ \angle AMB = \angle CKB \] (из пункта 4)

Следовательно, углы \( \angle AMK \) и \( \angle AMB \) равны.

6. Теперь рассмотрим треугольники \( AKM \) и \( CKB \). У нас есть:

\[ AM = CK \] (из пункта 1)

\[ BM = BK \] (по условию)

\[ \angle AMK = \angle CKB \] (из пункта 5)

Таким образом, треугольники \( AKM \) и \( CKB \) равны по стороне-углу-стороне (СУС).

7. Из равенства треугольников \( AKM \) и \( CKB \) следует, что соответствующие стороны также равны, в частности, \( AK = CK \).

Таким образом, мы доказали, что если на сторонах \( AB \) и \( BC \) треугольника \( ABC \) взяты точки \( M \) и \( K \) так, что \( AM = CK \) и \( BM = BK \), то \( AK = CM \).