Question

Із початку координат провести перпендикуляр до прямої (x/1)=(y+3/-1)=(z+3/-1)

Answer 1

Із початку координат провести перпендикуляр до прямої

(x/1)=(y+3/-1)=(z+3/-1).

Найдем проекцию точки O ( 0; 0; 0) на заданную прямую L.  

Чтобы найти проекцию точки на прямую, проведем через эту точку плоскость, перпендикулярную данной прямой, используя ее направляющий вектор, который будет вектором нормали к плоскости: a = {1; -1; -1} = n .

Получаем: 1*x – 1*y – 1*z = 0.

Тогда искомая проекция (точка N) – это результат пересечения прямой и плоскости. Чтобы найти это пересечение, запишем параметрические уравнения прямой:

x = t,

y = -t – 3,

z = -t – 3.

Подставим их в уравнение плоскости: t – (-t – 3) – 1(-t – 3) = 0,

t + t + 3 + t + 3 = 0,

3t = -6,

t = -6/3 = -2.

Подставим значение параметра t в координаты переменных прямой.

N: x = -2,

   y = -(-2) – 3 = -1,

   z = -(-2) – 3 = -1.

N(-2; -1; -1) − - проекция точки O на прямую L .  

Тогда уравнение перпендикуляра – это уравнение прямой ON.

(x – xO)/(xN – xO) = (y – yO)/(yN – yO) = (z – zO)/(zN – zO),

x/(-2) = y/(-1) = z/(-1).

Answer 2

Для того чтобы провести перпендикуляр от начала координат до данной прямой, мы должны найти вектор направления этой прямой. Затем мы можем использовать этот вектор направления для построения перпендикуляра.

Данная прямая задана в параметрической форме `(x/1) = (y+3/-1) = (z+3/-1)`. Давайте найдем вектор направления прямой.

Вектор направления прямой можно получить из коэффициентов перед `x`, `y` и `z` в параметрической форме. В данном случае, вектор направления будет `(1, -1, -1)`.

Теперь, чтобы построить перпендикуляр от начала координат, мы можем использовать этот вектор направления и найти вектор, перпендикулярный ему.

Для этого мы можем взять вектор направления и найти его перпендикуляр, используя кросс-произведение.

Кросс-произведение двух векторов дает вектор, перпендикулярный им обоим.

Таким образом, когда мы возьмем `(1, -1, -1)` и найдем его кросс-произведение с вектором, например, `(1, 0, 0)` (вектор, идущий вдоль оси x), мы получим вектор, перпендикулярный обоим векторам.

Давайте выполним кросс-произведение векторов `(1, -1, -1)` и `(1, 0, 0)`:

(1, -1, -1) x (1, 0, 0)

Результат кросс-произведения будет:

((-1) * 0 - (-1) * 0, (-1) * 0 - 1 * 0, 1 * 0 - (-1) * 1)
(0, 0, 1)

Таким образом, вектор `(0, 0, 1)` будет перпендикулярен данной прямой и проходить через начало координат.

Получается, перпендикулярная прямая будет задана параметрически как `(x/0) = (y+0/0) = (z+0/1)`.

Можно также записать его в виде уравнения в точечной форме: `z = 0`.

Таким образом, перпендикулярная прямая будет проходить через плоскость `z = 0` и начало координат.