Question

Найдите высоту цилиндра наибольшего объема,который можно вписать в шар радиуса 2 корень из 3 м

Answer 1

Обозначим радиус шара R, радиус цилиндра r, высоту цилиндра h, объем цилиндра V.

R=2√3

радиус цилиндра является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза - радиус шара, а второй катет половина высоты цилиндра, отсюда:

r²=R²-¼h²=12-¼h²

V=πr²h=πh(12-¼h²)=π(12h-¼h³)

Очевидно, что минимальный объем будет при h=0, а чтобы найти максимальный, возьмем производную от функции объема по h и приравняем нулю.

V'=π(12-¾h²)

π(12-¾h²)=0

12=¾h²

16=h²

h=4

Answer 2

Определение задачи: Мы хотим найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в сферу радиусом 2√3 метра.

Решение: Для решения этой задачи мы можем использовать метод максимизации объема цилиндра с ограничениями. Оптимальный цилиндр будет иметь наибольший возможный объем при заданных ограничениях.

Шаг 1: Определим ограничения задачи. В данном случае, ограничение состоит в том, что цилиндр должен быть вписан в сферу радиусом 2√3 метра. Это означает, что диаметр сферы должен быть равен диаметру цилиндра.

Шаг 2: Объем цилиндра можно выразить следующей формулой: V = πr^2h, где V - объем, r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.

Шаг 3: Так как диаметр цилиндра равен диаметру сферы, мы можем записать следующее соотношение: 2r = 2√3, откуда получаем: r = √3.

Шаг 4: Теперь мы можем выразить объем цилиндра в зависимости от высоты h: V = π(√3)^2h = 3πh.

Шаг 5: Для нахождения максимального значения объема V, мы должны найти максимальное значение выражения 3πh при условии, что h является положительным числом.

Шаг 6: Для этого мы можем найти производную этого выражения по h и приравнять ее к нулю: dV/dh = 3π = 0, откуда получаем: h = 0.

Шаг 7: Однако, значение h = 0 не имеет физического смысла, поскольку это означает, что цилиндр не имеет высоты. Поэтому, мы должны исключить это значение и рассмотреть только положительные значения h.

Шаг 8: Таким образом, мы можем заключить, что вписанный в сферу цилиндр наибольшего объема будет иметь высоту h = √3 метра.

Ответ: Высота цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в сферу радиусом 2√3 метра, равна √3 метра.