Question

Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC1A1 является квадратом. а) Докажите, что прямые CA1 и AB1 перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 4, BC = 7.

Answer 1

Пусть C - начало координат.

Ось X -  СA

Ось Y - CB

Ось Z - CC1

Вектора

СA ( 4;0;0)

CA1 ( 4;0;4)  - ACC1A1 квадрат

AB1 ( -4; 7; 4 )

a)   СA1 * AB1 = 4*(-4) + 0*7 + 4*4 = 0 - перпендикулярны , скалярное произведение 0

б)  | CA1 ; AB1 | = | CA * CA1xAB1 | / | CA1xAB1 | = | 4*7*4 | / √ ( (7*4)^2 + (16+16)^2 + (7*4)^2 ) = 112 / √2592 = 28 / (9√2) = 14 *√2 / 9

Answer 2

Давайте рассмотрим прямую треугольную призму \(ABCA_1B_1C_1\) и рассмотрим предоставленные условия:

1. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C: Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, это означает, что угол ACB равен 90 градусов.

2. Грань ACC1A1 является квадратом: Это говорит о том, что угол ACC_1 и угол A_1CA равны 90 градусов, так как грань ACC_1A_1 является квадратом.

Теперь рассмотрим вопросы:

а) Докажите, что прямые CA_1 и AB_1 перпендикулярны.

Мы знаем, что угол ACB и угол A_1CA равны 90 градусам. Также у нас есть прямоугольный треугольник ABC, поэтому угол ACB равен 90 градусам.

Таким образом, у нас есть два угла, каждый из которых равен 90 градусам: угол ACB и угол A_1CA. Это означает, что прямые CA_1 и AB_1 перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми CA_1 и AB_1, если AC = 4 и BC = 7.

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины отрезка CA и длины отрезка AB:

\[AC^2 + BC^2 = AB^2.\]

Подставим значения:

\[4^2 + 7^2 = AB^2,\]

\[16 + 49 = AB^2,\]

\[65 = AB^2.\]

Теперь находим длину AB:

\[AB = \sqrt{65}.\]

Так как треугольник ABC прямоугольный, длина AB - это гипотенуза. Теперь, мы можем использовать тот факт, что грань ACC_1A_1 является квадратом, чтобы найти расстояние между прямыми CA_1 и AB_1.

Расстояние между прямыми, проведенными из вершин квадрата к его противоположным сторонам (в данном случае, прямые CA и AB), равно длине его диагонали.

Таким образом, расстояние между прямыми CA_1 и AB_1 равно длине диагонали квадрата ACC_1A_1. Поскольку AC_1 = AC = 4 (по условию), диагональ квадрата ACC_1A_1 равна \(AC_1\sqrt{2} = 4\sqrt{2}.\)

Итак, расстояние между прямыми CA_1 и AB_1 равно \(4\sqrt{2}\).