Question

В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, через вершины A,B и точку P пересечения диагоналей проведена окружность, которая пересекает сторону BC в точке E. Докажите, что если AB=AD, то CD=CE.

Answer 1

Решение смотри в файле

Answer 2

Для начала, рассмотрим четырехугольник ABCD, вписанный в окружность. Поскольку через вершины A, B и точку P пересечения диагоналей проведена окружность, которая пересекает сторону BC в точке E, у нас есть несколько интересных элементов, с которыми можно работать.

Доказательство: AB=AD => CD=CE

Для начала, обратим внимание на то, что точка E является точкой пересечения вписанной окружности в четырехугольнике ABCD и диагонали BD, что дает нам следующие равенства углов: ∠BEC = ∠BDC и ∠CEB = ∠CDB.

Также, известно, что углы, образованные хордами внутри окружности одинаковые при пересечении, поэтому ∠BEC = ∠BAD и ∠CEB = ∠CAD.

Теперь обратим внимание на треугольники BCE и BDA. Мы знаем, что у них есть общий угол в вершине B, а также две пары равных углов - ∠BEC = ∠BAD и ∠CEB = ∠CAD. Это означает, что по признаку углов треугольники BCE и BDA подобны.

Теперь, поскольку треугольники BCE и BDA подобны, мы можем использовать пропорциональные отношения сторон для доказательства CD=CE. Поскольку AB=AD, мы знаем, что BD - это общая сторона для обоих треугольников. Таким образом, мы можем записать пропорцию:

BD/BC = BA/CE

Так как AB=AD, то BA=AD, то есть, отношение BA/CE равно AD/CE, и мы можем записать:

BD/BC = AD/CE

Теперь, поскольку треугольники BCE и BDA подобны, отношение сторон в этих треугольниках одинаково, поэтому:

BD/BC = AD/CE

Из этого следует, что CD=CE. Таким образом, мы доказали, что если AB=AD, то CD=CE в четырехугольнике ABCD.