Question

Даны вершины треугольника А(1,2,0),В(2,-3,4), С(0,-2,-3). Найти величину каждого угла.

Answer 1

Для того чтобы найти величину каждого угла треугольника, мы можем воспользоваться тремя вершинами треугольника A(1,2,0), B(2,-3,4) и C(0,-2,-3). Векторы, соединяющие эти вершины, могут быть использованы для вычисления углов между ними.

Пусть векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\) представляют стороны треугольника. Зная координаты векторов, мы можем использовать их для вычисления косинуса угла между векторами с помощью следующей формулы:

\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{v}\|} \]

Где \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\) - скалярное произведение векторов, а \(\|\overrightarrow{u}\|\) и \(\|\overrightarrow{v}\|\) - длины векторов.

Теперь вычислим углы:

1. Угол между \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\): \[ \cos(\angle ABC) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{\|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{BC}\|} \]

2. Угол между \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\): \[ \cos(\angle BCA) = \frac{\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA}}{\|\overrightarrow{BC}\| \cdot \|\overrightarrow{CA}\|} \]

3. Угол между \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{AB}\): \[ \cos(\angle CAB) = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{CA}\| \cdot \|\overrightarrow{AB}\|} \]

Теперь вычислим значения:

\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 1, -3 - 2, 4 - 0) = (1, -5, 4) \] \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (0 - 2, -2 - (-3), -3 - 4) = (-2, 1, -7) \] \[ \overrightarrow{CA} = A - C = (1 - 0, 2 - (-2), 0 - (-3)) = (1, 4, 3) \]

\[ \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 25 + 16} = \sqrt{42} \] \[ \|\overrightarrow{BC}\| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 1 + 49} = \sqrt{54} \] \[ \|\overrightarrow{CA}\| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26} \]

\[ \cos(\angle ABC) = \frac{(1, -5, 4) \cdot (-2, 1, -7)}{\sqrt{42} \cdot \sqrt{54}} \] \[ \cos(\angle BCA) = \frac{(-2, 1, -7) \cdot (1, 4, 3)}{\sqrt{54} \cdot \sqrt{26}} \] \[ \cos(\angle CAB) = \frac{(1, 4, 3) \cdot (1, -5, 4)}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{42}} \]

Теперь вычислим числовые значения:

\[ \cos(\angle ABC) \approx -0.206 \] \[ \cos(\angle BCA) \approx 0.276 \] \[ \cos(\angle CAB) \approx 0.654 \]

Теперь найдем углы:

\[ \angle ABC \approx \arccos(-0.206) \] \[ \angle BCA \approx \arccos(0.276) \] \[ \angle CAB \approx \arccos(0.654) \]

Итак, мы нашли числовые значения углов.