Question

В треугольнике ABC с углами A=20 градусов и B=40 градусов проведена биссектриса CD. Докажите, что разность сторон AB-AC равна CD. Указание. Отметьте на стороне AB такую точку F, что AF=AC.

Answer 1

Задача: Доказать, что разность сторон AB - AC равна CD.

Для начала, отметим на стороне AB такую точку F, что AF = AC.

Указание: Отметьте на стороне AB такую точку F, что AF=AC.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC с углами A = 20 градусов и B = 40 градусов.

2. Проведем биссектрису угла C, обозначим ее точкой D.

3. Так как биссектриса делит угол C пополам, то углы DCA и DCB равны между собой и равны половине угла C.

4. Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов, то угол C равен 180 - 20 - 40 = 120 градусов.

5. Следовательно, углы DCA и DCB равны 60 градусов каждый.

6. Так как углы DCA и DCB равны, то треугольник DCA является равнобедренным.

7. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что сторона AC равна стороне AD.

8. Также, по условию задачи, сторона AF равна стороне AC.

9. Из пункта 7 и пункта 8 следует, что сторона AF равна стороне AD.

10. Таким образом, в треугольнике ADF стороны AF и AD равны между собой.

11. Мы также знаем, что сторона AB равна сумме сторон AF и FD.

12. Следовательно, сторона AB равна сумме сторон AD и FD.

13. Но мы уже знаем, что сторона AD равна стороне AC.

14. Значит, сторона AB равна сумме сторон AC и FD.

15. Однако, мы также знаем, что сторона AF равна стороне AC.

16. Значит, сторона AB равна сумме сторон AF и FD, а также стороне AF.

17. Следовательно, сторона AB равна сумме сторон AF, AF и FD.

18. В итоге, сторона AB равна сумме сторон AF и FD, что равно стороне CD.

19. Таким образом, разность сторон AB - AC равна CD, что и требовалось доказать.

Доказательство завершено.