Question

Геометрія : Дано кут АВСD у якої АВ=АD1 см СD=3 см , а промінь АС бісектриса куьта ВАD знайти довжину АВСО

Answer 1

Для розв'язання цієї задачі вам слід використовувати властивості бісектриси та теорему косинусів. Давайте позначимо кут ACD через α. Оскільки AC є бісектрисою кута BAD, ми можемо сказати, що кути CAD і DAB дорівнюють один одному, тобто кут CAD = кут DAB = α.

Також маємо дані: AB = AD = 1 см (за умовою) CD = 3 см (за умовою)

Тепер можемо застосувати теорему косинусів до трикутника ACD: \[AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle CAD)\]

Підставимо відомі значення: \[AC^2 = 1^2 + 3^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot \cos(\alpha)\]

\[AC^2 = 1 + 9 - 6 \cos(\alpha)\]

\[AC^2 = 10 - 6 \cos(\alpha)\]

Тепер давайте розглянемо трикутник ABC. У цьому трикутнику ми можемо також використовувати теорему косинусів: \[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle ABC)\]

Підставимо відомі значення: \[BC^2 = 1^2 + (10 - 6 \cos(\alpha)) - 2 \cdot 1 \cdot (10 - 6 \cos(\alpha)) \cdot \cos(\angle ABC)\]

\[BC^2 = 1 + 10 - 6 \cos(\alpha) - 20 \cos(\alpha) + 12 \cos^2(\alpha)\]

Тепер, ми також знаємо, що кут ABC дорівнює \(180^\circ - \angle CAD\), а отже \(\cos(\angle ABC) = -\cos(\angle CAD) = -\cos(\alpha)\). Підставимо це значення: \[BC^2 = 1 + 10 - 6 \cos(\alpha) - 20 \cos(\alpha) + 12 \cos^2(\alpha) + 2 \cdot 1 \cdot (10 - 6 \cos(\alpha)) \cdot \cos(\alpha)\]

\[BC^2 = 11 - 26 \cos(\alpha) + 12 \cos^2(\alpha) + 20 \cos(\alpha) - 12 \cos^2(\alpha)\]

\[BC^2 = 11 - 6 \cos(\alpha)\]

Тепер ми можемо записати вираз для BC: \[BC = \sqrt{11 - 6 \cos(\alpha)}\]

Задача полягає в знаходженні значення довжини BC відносно кута α. Якщо вам відомий кут α, ви можете підставити його значення в останній вираз і отримати довжину BC. Якщо вам дана додаткова інформація про кут ABC або інші властивості трикутника, вам може бути надано додаткову інформацію для розв'язання завдання.