Question

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5см и 12см. найти площадь треугольника

Answer 1

Отрезки на катетах от гипотенузы до точки касания тоже равны 5 и 12 см. Вторые отрезки, равные между собой, обозначим х.
Тогда один катет равен (5 + х) см, а второй - (12 + х) см.
По Пифагору (5 + 12)² = (5 + х)² + (12 + х)².
Раскрываем скобки:
289 = 25 + 10х + х² + 144 + 24х + х².
Получаем квадратное уравнение:
2х² + 34х - 120 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=34^2-4*2*(-120)=1156-4*2*(-120)=1156-8*(-120)=1156-(-8*120)=1156-(-960)=1156+960=2116;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√2116-34)/(2*2)=(46-34)/(2*2)=12/(2*2)=12/4=3;
x_2=(-√2116-34)/(2*2)=(-46-34)/(2*2)=-80/(2*2)=-80/4=-20.
Отрицательный корень отбрасываем.
Тогда катеты равны 5 + 3 = 8 см и 12 + 3 = 15 см.
S = (1/2)*8*15 = 60 см².

Answer 2

Для решения данной задачи, мы должны использовать некоторые свойства вписанной окружности и прямоугольного треугольника.

Свойство 1:

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности с гипотенузой делит гипотенузу на два отрезка, равные радиусу окружности.

Свойство 2:

В прямоугольном треугольнике, катеты которого равны a и b, а гипотенуза равна c, радиус вписанной окружности может быть выражен следующей формулой: r = (a + b - c) / 2

Решение:

Пусть точка касания вписанной окружности с гипотенузой делит ее на отрезки длиной 5 см и 12 см. Обозначим эти отрезки как x и y соответственно.

Согласно свойству 1, x + y = r, где r - радиус вписанной окружности.

Известно, что x = 5 см и y = 12 см. Подставим эти значения в уравнение: 5 + 12 = r, откуда получаем r = 17 см.

Теперь, согласно свойству 2, радиус вписанной окружности можно выразить через катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника. В данном случае, катеты равны 5 см и 12 см, а гипотенуза - неизвестная.

Используем теорему Пифагора: c^2 = a^2 + b^2, где c - гипотенуза, a и b - катеты.

Подставим значения катетов в формулу: c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169. Получаем c = √169 = 13 см.

Теперь, когда у нас есть радиус r = 17 см и гипотенуза c = 13 см, мы можем найти площадь треугольника.

Нахождение площади треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через его катеты a и b следующей формулой: S = (a * b) / 2.

Подставим значения катетов в формулу: S = (5 * 12) / 2 = 60 / 2 = 30 см^2.

Таким образом, площадь треугольника равна 30 квадратных сантиметров.