Question

Задача. Задано координати вершин трикутника ABC . A(4;4); B(7;16); C(13;8). Знайти: 1) рівняння висоти СD; 2) рівняння медіани АЕ і координати точки К перетину цієї медіани з висотою СD; 3) рівняння прямої, що проходить через точку К паралельно до сторони АВ; Дуже сильно потрібно

Answer 1

Задача: Знайти рівняння висоти СD

Для того, щоб знайти рівняння висоти СD трикутника ABC, спочатку знайдемо координати точки D. Висота трикутника - це перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до протилежної сторони.

1. Знаходимо середню точку між точками A і B. Це можна зробити, обчисливши середнє арифметичне їх координат:

xD = (xA + xB) / 2 yD = (yA + yB) / 2

Підставимо дані знаходяться вище:

xD = (4 + 7) / 2 = 11/2 = 5.5 yD = (4 + 16) / 2 = 20/2 = 10

Отже, координати точки D - (5.5, 10).

2. Знаходимо рівняння прямої, яка проходить через точку D і є перпендикулярною до сторони AB.

Для цього використовуємо формулу для рівняння прямої: y - y1 = m(x - x1)

Де (x1, y1) - координати точки D, а m - коефіцієнт наклона прямої, який буде протилежним оберненим до коефіцієнта наклона сторони AB.

Знайдемо коефіцієнт наклона сторони AB: mAB = (yB - yA) / (xB - xA) = (16 - 4) / (7 - 4) = 12 / 3 = 4

Оскільки висота CD є перпендикулярною до сторони AB, коефіцієнт наклона прямої, що проходить через точку D, буде оберненим до коефіцієнта наклона сторони AB.

mCD = -1 / mAB = -1 / 4

Підставимо відомі значення в рівняння прямої:

y - y1 = mCD(x - x1) y - 10 = -1/4(x - 5.5)

Розкриємо дужки та спростимо рівняння:

y - 10 = -1/4x + 11/2 y = -1/4x + 11/2 + 10 y = -1/4x + 11/2 + 20/2 y = -1/4x + 31/2

Отже, рівняння висоти CD трикутника ABC: y = -1/4x + 31/2.

Задача: Знайти рівняння медіани АЕ та координати точки К, перетину медіани з висотою СD.

1. Рівняння медіани можна знайти, знаходячи середню точку між точками A і E.

З точками A(4, 4) і E, яку треба знайти, ми не маємо вказаної. Тому неможливо знайти рівняння медіани АЕ без точки E.

2. Перетин медіани АЕ з висотою СD - це точка К. Для того, щоб знайти координати точки К, ми повинні спочатку знайти рівняння медіани АЕ.

Оскільки медіана - це відрізок, який з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони, ми можемо знайти координати точки Е, використовуючи формулу середньої точки:

xE = (xA + xC) / 2 yE = (yA + yC) / 2

Підставимо дані знаходяться вище:

xE = (4 + 13) / 2 = 17/2 = 8.5 yE = (4 + 8) / 2 = 12/2 = 6

Отже, координати точки Е - (8.5, 6).

Тепер, знаючи координати точок A і E, ми можемо знайти рівняння медіани АЕ. Для цього використовуємо формулу для рівняння прямої, як і в попередній задачі.

Знайдемо коефіцієнт наклона прямої AE: mAE = (yE - yA) / (xE - xA) = (6 - 4) / (8.5 - 4) = 2 / 4.5 = 4/9

Рівняння прямої медіани АЕ: y - yA = mAE(x - xA) y - 4 = 4/9(x - 4)

Розкриємо дужки та спростимо рівняння: y - 4 = 4/9x - 16/9 y = 4/9x - 16/9 + 36/9 y = 4/9x + 20/9

Отже, рівняння медіани АЕ трикутника ABC: y = 4/9x + 20/9.

3. Знайдемо точку перетину медіани АЕ з висотою СD, тобто точку К. Для цього розв'яжемо систему рівнянь, враховуючи, що координати точки К мають бути однаковими в обох рівняннях.

Рівняння медіани АЕ: y = 4/9x + 20/9 Рівняння висоти СD: y = -1/4x + 31/2

Підставимо рівняння медіани в рівняння висоти і розв'яжемо систему рівнянь:

4/9x + 20/9 = -1/4x + 31/2

Перенесемо всі члени в одну частину рівняння:

4/9x + 1/4x = 31/2 - 20/9

Знайдемо спільний знаменник:

4/9x + 1/4x = 279/18 - 40/18

Згорнемо дроби:

(16x + 9x) / (36) = (279 - 40) / 18

Складемо подібні доданки:

25x / 36 = 239 / 18

Помножимо обидві сторони на 36:

25x = 239 * 2

25x = 478

Розділимо обидві сторони на 25:

x = 478 / 25