Question

У чотирикутнику ABCD бісектриса кута В перетинає бісектриси кутів А і С під прямим кутом. Доведіть, що чотирикутник ABCD — паралелограм.

Answer 1

Для доведення того, що чотирикутник ABCD є паралелограмом, давайте розглянемо надані умови:

1. Бісектриса кута B перетинає бісектриси кутів A і C під прямим кутом.

2. Означимо точку перетину бісектрис кутів A і C через O.

Тепер розглянемо трикутники ABO і CBO:

- У трикутнику ABO, бісектриса кута B перетинає бісектрису кута A під прямим кутом. Отже, за теоремою про бісектрису в треугольнике, точка O лежить на стороні AB. - Аналогічно, у трикутнику CBO, бісектриса кута B перетинає бісектрису кута C під прямим кутом, тому точка O лежить на стороні BC.

Таким чином, точка O лежить і на стороні AB, і на стороні BC, що означає, що вона є середньою точкою для цих сторін. Звідси випливає, що AB = BC.

Однак, з бісектриси кута B також випливає, що кути ABO і CBO рівні (оскільки вони є бісектрисами одного і того ж кута B). Таким чином, трикутники ABO і CBO є рівнобедреними.

Отже, ми маємо, що AB = BC і трикутники ABO і CBO є рівнобедреними. Звідси випливає, що вони подібні.

Тепер розглянемо чотирикутник ABCD. За властивістю подібних трикутників, ми можемо стверджувати, що відповідні сторони чотирикутника також пропорційні. Тобто, AB = BC = CD.

Отже, ми прийшли до висновку, що протилежні сторони чотирикутника ABCD рівні, що свідчить про те, що чотирикутник ABCD є паралелограмом.