Question

Дан четырёхугольник ABCD, середины противоположных сторон которого пересекаются в точке К. Докажите, что для любой точки L пространства выполняется равенство LK = 1/4 • (LA + LB + LC + LD).

Answer 1

Давайте рассмотрим четырёхугольник ABCD и середины его сторон, обозначенные как M, N, P и Q. Таким образом, AC и BD — диагонали четырёхугольника ABCD, и их точка пересечения K является серединой их обеих. Мы можем использовать свойства параллелограмма и середины отрезка, чтобы доказать утверждение.

Теперь, давайте введем точку L в пространстве. Проведем прямые LK, LM, LN, LP и LQ. Так как K — середина отрезка AC и BD, то прямые LN и LP являются медианами треугольников ABC и ABD соответственно. Также, прямые LK, LM, LN, LP и LQ являются высотами этих треугольников.

Теперь рассмотрим треугольники LAC, LBD, LNM, LNP, LMP и LKQ. Из свойств медиан и высот треугольника мы можем сказать следующее:

1. LN = 1/2 * AC 2. LP = 1/2 * BD 3. LK — медиана треугольника ABC и ABD, поэтому LK = 1/2 * AC = 1/2 * BD

Теперь обратим внимание на треугольники LAC, LBD, LNM, LNP, LMP и LKQ. Мы можем использовать неравенство треугольника для каждого из них:

- В треугольнике LAC: LC + LK > LA (где LC — высота) - В треугольнике LBD: LD + LK > LB (где LD — высота) - В треугольнике LNM: LN + LM > NM (где NM — сторона) - В треугольнике LNP: LN + LP > NP (где NP — сторона) - В треугольнике LMP: LM + LP > MP (где MP — сторона) - В треугольнике LKQ: LK + LQ > KQ (где KQ — сторона)

Теперь сложим все эти неравенства:

\[ LC + LK + LD + LN + LM + LP + LK + LQ > LA + LB + NM + NP + MP + KQ \]

Учитывая, что LK = 1/2 * AC и 1/2 * BD, а также LN = 1/2 * AC и LP = 1/2 * BD, мы можем упростить это выражение:

\[ LC + LD + LN + LM + LQ > LA + LB + NM + NP + MP + KQ \]

Теперь давайте рассмотрим прямоугольник LNCQ. Мы можем записать:

\[ LC + LQ > NQ \]

Аналогично, рассмотрим прямоугольник LMDP:

\[ LD + LM > MP \]

Теперь подставим эти результаты в наше предыдущее неравенство:

\[ NQ + MP > LA + LB + NM + NP + MP + KQ \]

Упростим это выражение, учитывая, что NP + MP = NM:

\[ NQ > LA + LB + KQ \]

Теперь рассмотрим треугольник LNK:

\[ LK + KN > LN \]

Учитывая, что LK = 1/2 * AC и LN = 1/2 * AC, мы можем записать:

\[ 1/2 * AC + KN > 1/2 * AC \]

Отсюда следует, что \( KN > 0 \), что всегда верно.

Теперь, вернемся к изначальной задаче:

\[ LK + KQ = 1/2 * AC + 1/2 * BD \]

Также, мы знаем, что \( NQ > LA + LB + KQ \).

Сложим эти два неравенства:

\[ LK + KQ + NQ > 1/2 * AC + 1/2 * BD + LA + LB + KQ \]

Упростим:

\[ LK + NQ > LA + LB + 1/2 * AC + 1/2 * BD \]

Теперь вспомним, что \( NQ = 2 * LK \):

\[ LK + 2 * LK > LA + LB + 1/2 * AC + 1/2 * BD \]

Упростим еще раз:

\[ 3 * LK > LA + LB + 1/2 * AC + 1/2 * BD \]

Теперь, разделим обе стороны на 3:

\[ LK > 1/3 * (LA + LB + 1/2 * AC + 1/2 * BD) \]

А теперь умножим обе стороны на 4:

\[ 4 * LK > LA + LB + AC + BD \]

Поскольку \( AC = BD \) (диагонали четырёхугольника ABCD), мы можем заменить их:

\[ 4 * LK > LA + LB + AC + AC \]

\[ 4 * LK > LA + LB + 2 * AC \]

Теперь, поделим обе стороны на 4:

\[ LK > 1/4 * (LA + LB + 2 * AC) \]

Наконец, учитывая, что \( 2 * AC = 2 * BD \):

\[ LK > 1/4 * (LA + LB + BD) \]

Таким образом, мы доказали, что для любой точки L в пространстве выполняется неравенство \( LK > 1/4 * (LA + LB + LC + LD) \).