Question

( Паралельно осі циліндра проведено переріз, що відтинає від кола основи дугу, градусна міра якої дорівнює А . Відрізок, який сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи, утворює з площиною основи кут Б, а радіус основи дорівнює R. Знайдіть площу цього перерізу.

Answer 1

Давайте позначимо циліндр нашого об'єкта. Хай \(O\) - центр верхньої основи, \(A\) - точка кола нижньої основи, \(B\) - центр кола нижньої основи. Радіус основи циліндра \(R\), а дуга кола, відсічена нашим перерізом, має градусну міру \(A\).

Позначимо середню точку дуги (точку на дузі кола) як \(M\). Також, нехай \(C\) - точка перетину лінії \(OM\) з лінією, що проходить через \(B\) і \(A\). Треба знайти площу перерізу циліндра, яку утворює відрізок \(OC\).

Спочатку звернемо увагу на трикутник \(OAB\). Він є прямокутним трикутником зі стороною \(OA\) як гіпотенузою, а стороною \(OB\) як однією з катетів. Відомо, що \(OB = R\).

Тепер, розглянемо кут \(OBA\). Це просто доповнення градусної міри дуги \(A\) до \(90^\circ\), оскільки \(OBA\) - прямий кут.

Отже, кут \(OBA\) дорівнює \(90^\circ - A\).

Тепер, давайте розглянемо трикутник \(OCB\). У ньому відомі два катети: \(OB = R\) і \(BC = \frac{OA}{2}\), оскільки \(C\) - середня точка дуги.

Знаючи дві сторони прямокутного трикутника, можемо знайти третю за допомогою теореми Піфагора:

\[CB^2 + OB^2 = OC^2\]

\[OC = \sqrt{CB^2 + OB^2}\]

\[OC = \sqrt{\left(\frac{OA}{2}\right)^2 + R^2}\]

Тепер ми знаємо довжину сторони \(OC\). Щоб знайти площу трикутника \(OCB\), використовуємо формулу площі прямокутного трикутника:

\[S_{OCB} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot CB\]

\[S_{OCB} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\left(\frac{OA}{2}\right)^2 + R^2} \cdot \frac{OA}{2}\]

А площа всього перерізу циліндра буде подвоєною площею трикутника \(OCB\), оскільки відрізок \(OC\) є відрізком, що сполучає центр верхньої основи з точкою кола нижньої основи:

\[S_{\text{перерізу}} = 2 \cdot S_{OCB}\]

\[S_{\text{перерізу}} = OA \cdot \sqrt{\left(\frac{OA}{2}\right)^2 + R^2}\]

Це є вираз для площі перерізу циліндра в залежності від величин \(OA\) (радіус кола нижньої основи) та \(A\) (градусна міра дуги).