Question

Лёгкая задача Рiвнi вiдрiзки AB i CD перетинаються в точці О так, що AO: OB=CO: OD = 2:1. Доведіть, що АОD=COB.

Answer 1

Для доведення того, що АОD дорівнює COB, ми можемо використати властивості подібних трикутників та пропорційність відрізків.

Дано, що відрізки AB і CD перетинаються в точці О так, що AO:OB = CO:OD = 2:1.

Знаходження відношень

Оскільки AO:OB = 2:1, ми можемо припустити, що AO = 2x і OB = x, де x - це довжина відрізка OB. Аналогічно, CO:OD = 2:1 означає, що CO = 2y і OD = y, де y - це довжина відрізка OD.

Подібні трикутники

Так як трикутники AOD і COB мають парні відношення між сторонами, ми можемо вважати їх подібними. Це означає, що відповідні сторони цих трикутників мають однакові відношення.

Відповідні сторони

Враховуючи наші припущення про довжини сторін, ми можемо порівняти відповідні сторони:

- Сторона AO в трикутнику AOD відповідає стороні CO в трикутнику COB. - Сторона OD в трикутнику AOD відповідає стороні OB в трикутнику COB. - Сторона AD в трикутнику AOD відповідає стороні CB в трикутнику COB.

Порівняння сторін

Ми знаємо, що AO = 2x, OD = y, CO = 2y і OB = x. За властивостями подібних трикутників, відповідні сторони повинні мати однакові відношення. Тому ми можемо записати:

AO/CO = 2x/2y = x/y

OD/OB = y/x

AD/CB = 2x/x = 2

Висновок

За властивостями подібних трикутників, які мають однакові відношення відповідних сторін, ми бачимо, що AO/CO = OD/OB = AD/CB. Отже, трикутники AOD і COB є подібними трикутниками.

Це означає, що кути AOD і COB також будуть однаковими. Отже, АОD дорівнює COB.

Таким чином, ми довели, що АОD = COB.