Question

Довести, що чотирикутник ABCD-ромб A(3; 5); B(1, 11); C(7; 9); D(9; 3)​

Answer 1

Для перевірки цього можна використати визначник матриці, яка складається з координат заданих точок. Якщо визначник не дорівнює нулю, то точки не лежать на одній прямій.

Визначник матриці для трьох точок (x₁, y₁), (x₂, y₂) і (x₃, y₃) виглядає так:

Answer 2

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є ромбом, нам потрібно перевірити декілька умов. Ромб - це чотирикутник, у якого всі сторони мають однакову довжину і протилежні сторони паралельні. Також, у ромбах протилежні кути однакові.

1. Перевірка довжин сторін: Для цього обчислимо довжини сторін AB, BC, CD і DA, використовуючи формулу відстані між двома точками в координатній площині.

AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) BC = √((x3 - x2)² + (y3 - y2)²) CD = √((x4 - x3)² + (y4 - y3)²) DA = √((x1 - x4)² + (y1 - y4)²)

Підставимо дані координати: AB = √((1 - 3)² + (11 - 5)²) = √((-2)² + 6²) = √(4 + 36) = √40 = 2√10 BC = √((7 - 1)² + (9 - 11)²) = √(6² + (-2)²) = √(36 + 4) = √40 = 2√10 CD = √((9 - 7)² + (3 - 9)²) = √(2² + (-6)²) = √(4 + 36) = √40 = 2√10 DA = √((3 - 9)² + (5 - 3)²) = √((-6)² + 2²) = √(36 + 4) = √40 = 2√10

Отже, AB = BC = CD = DA, що означає, що у чотирикутника ABCD всі сторони мають однакову довжину.

2. Перевірка паралельності сторін: Для того, щоб перевірити, чи є протилежні сторони паралельними, ми можемо порівняти коефіцієнти прямих, на яких лежать протилежні сторони.

Створимо вектори AB = (x2 - x1, y2 - y1) і CD = (x4 - x3, y4 - y3). AB = (1 - 3, 11 - 5) = (-2, 6) CD = (9 - 7, 3 - 9) = (2, -6)

Якщо вектори AB і CD паралельні, то їхні коефіцієнти повинні бути пропорційними: AB_x / CD_x = AB_y / CD_y

(-2) / 2 = 6 / (-6) -1 = -1

Отже, ми бачимо, що коефіцієнти пропорційні, що означає, що протилежні сторони AB і CD паралельні.

3. Перевірка рівності кутів: Для того, щоб перевірити, чи рівні кути, ми можемо порівняти кути, які утворюють сторони AB і BC, і кути, які утворюють сторони BC і CD.

Використовуючи вектори AB і BC, ми можемо порівняти їхні кути за допомогою скалярного добутку: AB · BC = AB_x * BC_x + AB_y * BC_y

(-2) * 2 + 6 * (-6) = -4 - 36 = -40

Якщо скалярний добуток AB · BC дорівнює нулю, то кути між сторонами AB і BC є прямими кутами. У нашому випадку, скалярний добуток дорівнює -40, що означає, що кути між сторонами AB і BC не є прямими.

Таким чином, ми можемо зробити висновок, що чотирикутник ABCD з координатами A(3, 5), B(1, 11), C(7, 9), D(9, 3) є ромбом, оскільки всі його сторони мають однакову довжину, протилежні сторони паралельні і кути між сторонами не є прямими.

Answer 3

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є ромбом, нам потрібно перевірити деякі властивості ромба.

Перш за все, ромб - це чотирикутник, у якого всі сторони мають однакову довжину. Для перевірки цієї властивості нам потрібно виміряти довжини сторін AB, BC, CD і DA.

Довжина сторони AB може бути обчислена за допомогою формули відстані між двома точками в просторі:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

В нашому випадку, координати точок A(3, 5) і B(1, 11). Підставляючи ці значення в формулу, отримуємо:

AB = √((1 - 3)^2 + (11 - 5)^2) = √((-2)^2 + (6)^2) = √(4 + 36) = √40 = 2√10

Аналогічно, можемо обчислити довжини сторін BC, CD і DA:

BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((7 - 1)^2 + (9 - 11)^2) = √(6^2 + (-2)^2) = √(36 + 4) = √40 = 2√10 CD = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((9 - 7)^2 + (3 - 9)^2) = √(2^2 + (-6)^2) = √(4 + 36) = √40 = 2√10 DA = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((9 - 3)^2 + (3 - 5)^2) = √(6^2 + (-2)^2) = √(36 + 4) = √40 = 2√10

Отримали, що всі сторони AB, BC, CD і DA мають довжину 2√10, тому ця умова виконується.

Усі сторони чотирикутника ABCD мають однакову довжину

Друга властивість ромба - протилежні сторони паралельні. Щоб перевірити цю властивість, ми можемо порівняти коефіцієнти наклона прямих, на яких лежать протилежні сторони.

Коефіцієнт наклона прямої можна обчислити за формулою:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Застосуємо цю формулу для сторін AB і CD, а також сторін BC і DA.

Для сторін AB і CD: m_AB = (11 - 5) / (1 - 3) = 6 / (-2) = -3 m_CD = (3 - 9) / (9 - 7) = -6 / 2 = -3

Для сторін BC і DA: m_BC = (9 - 11) / (7 - 1) = -2 / 6 = -1/3 m_DA = (5 - 3) / (3 - 9) = 2 / (-6) = -1/3

Отримали, що коефіцієнти наклона для протилежних сторін AB і CD, а також BC і DA, рівні -3 і -1/3 відповідно. Це означає, що протилежні сторони паралельні.

Протилежні сторони чотирикутника ABCD паралельні

Отже, ми довели, що чотирикутник ABCD є ромбом, оскільки всі його сторони мають однакову довжину і протилежні сторони паралельні.