Question

Точки E і F — відповідно середини сторін BC і CD ромба ABCD. Доведіть, що ∠EAC = ∠FAC.

Answer 1

Ответ:

Довели, що ∠EAC=∠FAC

Объяснение:

Точки E і F — відповідно середини сторін BC і CD ромба ABCD. Доведіть, що ∠EAC = ∠FAC.

1) Нехай ABCD - даний ромб.

AB=BC=CD=AD - за властивістю ромба.

Так як Е - середина ВС, то:

BE=EC=½•BC

Так як F - середина CD, то:

CF=FD=½•DC.

Отже, BE=EC=CF=FD.

2) За властивістю діагоналей ромба, АС - бісектриса ∠BCD.

Отже, ∠ACE=∠ACF.

3) Розглянемо △AEC і △AFC.

• AC - спільна
• EC=CF (п.1)
• ∠ACE=∠ACF(п.2)

Отже, △AEC=△AFC за 1 ознакою рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними)

4) За властивістю рівних фігур маємо:

∠EAC=∠FAC.

Доведено.

#SPJ1

Answer 2

Для того чтобы довести, что ∠EAC = ∠FAC в ромбе ABCD, нам понадобится использовать свойства ромба и треугольников.

Сначала давайте рассмотрим свойства ромба ABCD:

1. Все стороны ромба равны между собой. 2. Диагонали ромба перпендикулярны друг другу и пересекаются в его центре. 3. Углы при основаниях равнобедренных треугольников ABC и ADC равны.

Теперь обратим внимание на следующее:

Поскольку точки E и F - середины сторон BC и CD ромба ABCD, то EF - это половина диагонали BD, и, следовательно, EF - это радиус окружности, описанной вокруг ромба ABCD.

Далее, рассмотрим треугольник AEF. У него есть две равные стороны (AE = AF, так как это радиус окружности) и общий угол A. Этот треугольник является равнобедренным, и, следовательно, ∠EAF = ∠EFA.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У него также есть две равные стороны (AB = AC) и общий угол A. Этот треугольник тоже равнобедренный, и, следовательно, ∠BAC = ∠BCA.

Таким образом, у нас есть два равнобедренных треугольника: AEF и ABC. В обоих треугольниках общим углом является угол A. Так как в равнобедренных треугольниках угол, напротив равных сторон, равен, то ∠EAF = ∠BAC.

Теперь, с учетом того, что мы установили ∠EAF = ∠BAC и ∠BAC = ∠BCA, мы можем заключить, что ∠EAF = ∠BCA.

Вспомните, что мы рассматривали ромб ABCD, и у нас есть два равных угла, ∠EAF и ∠BCA, которые оба равны углу A. Следовательно, ∠EAC = ∠FAC, и мы доказали, что эти два угла равны.