Question

У трикутнику ABC проведено медіану ВО довжиною 8 см і висоту ВD. Кут між ними DBO дорівнює 30º. Знайдіть основу АС, якщо DC =6 см. A B OD C Введіть відповідь...​

Answer 1

Давайте розглянемо задачу та знайдемо основу \(AC\) трикутника \(ABC\).

Ми вже знаємо, що довжина медіани \(BO\) дорівнює 8 см. Медіана розділяє сторону \(AC\) навпіл, тобто ділить її на дві рівні частини. Таким чином, довжина кожної з цих частин дорівнює \(8/2 = 4\) см.

Також нам відомо, що кут між медіаною \(BO\) і висотою \(BD\) дорівнює 30 градусів. Такий кут може бути сформований, наприклад, у прямокутному трикутнику \(BOQ\), де \(OQ\) - медіана, \(BQ\) - висота. Таким чином, ми можемо використовувати властивості прямокутного трикутника для знаходження інших сторін.

Знаючи, що \(BOQ\) - прямокутний трикутник і кут \(BOQ\) дорівнює 30 градусів, ми можемо використовувати тригонометричні функції для знаходження довжин сторін. Відомо, що:

\(\tan(30^\circ) = \dfrac{{BQ}}{{OQ}}\).

Ми знаємо, що \(OQ = 4\) см (половина медіани), і ми шукаємо \(BQ\).

\(\tan(30^\circ) = \dfrac{{BQ}}{{4}}\).

Тепер обчислимо значення \(\tan(30^\circ)\), яке дорівнює \(1/\sqrt{3}\).

Отже,

\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{{BQ}}{4}\).

Тепер ми можемо знайти \(BQ\):

\(BQ = \dfrac{4}{\sqrt{3}}\).

Тепер, ми знаємо довжини \(DC = 6\) см і \(BQ = \dfrac{4}{\sqrt{3}}\) см. Ми можемо використовувати ці відомі значення для знаходження довжини \(CQ\). Для цього можемо скористатися теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику \(DCQ\):

\((CQ)^2 = (DC)^2 + (BQ)^2\).

\((CQ)^2 = 6^2 + \left(\dfrac{4}{\sqrt{3}}\right)^2\).

\((CQ)^2 = 36 + \dfrac{16}{3}\).

\((CQ)^2 = \dfrac{108}{3} + \dfrac{16}{3}\).

\((CQ)^2 = \dfrac{124}{3}\).

\(CQ = \sqrt{\dfrac{124}{3}}\).

Тепер, ми знаємо довжину \(CQ\), але ми шукаємо довжину \(AC\), яка є діагоналлю прямокутного трикутника \(ADC\). Використовуючи теорему Піфагора знову, ми можемо знайти \(AC\):

\((AC)^2 = (CQ)^2 + (DC)^2\).

\((AC)^2 = \left(\sqrt{\dfrac{124}{3}}\right)^2 + 6^2\).

\((AC)^2 = \dfrac{124}{3} + 36\).

\((AC)^2 = \dfrac{124}{3} + \dfrac{108}{3}\).

\((AC)^2 = \dfrac{232}{3}\).

\(AC = \sqrt{\dfrac{232}{3}}\).

Ми можемо спростити це значення шляхом виділення квадратного кореня в чисельнику:

\(AC = \dfrac{\sqrt{232}}{\sqrt{3}}\).

\(AC = \dfrac{2\sqrt{58}}{\sqrt{3}}\).

\(AC = \dfrac{2\sqrt{58}}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) (щоб позбавитися від знаменника).

\(AC = \dfrac{2\sqrt{58 \cdot 3}}{3}\).

\(AC = \dfrac{2\sqrt{174}}{3}\).

Отже, довжина основи \(AC\) трикутника \(ABC\) дорівнює \(\dfrac{2\sqrt{174}}{3}\) см.