Question

4.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на противоположной стороне. Найдите площадь параллелограмма, если длины биссектрис равны 3 см и 4 см.​

Answer 1

Чтобы найти площадь параллелограмма, имея длины его биссектрис, можно воспользоваться следующим методом.

1. Пусть биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на противоположной стороне. Обозначим длины этих биссектрис как \(a\) и \(b\), где \(a = 3\) см и \(b = 4\) см.

2. Так как биссектрисы параллельны сторонам параллелограмма и пересекаются на противоположной стороне, они разбивают параллелограмм на четыре равных треугольника.

3. Поскольку биссектрисы разбивают каждый угол пополам, каждый из этих треугольников - это прямоугольный треугольник.

4. Теперь можно применить теорему Пифагора, так как мы знаем длины биссектрис и, следовательно, длины двух из трех сторон прямоугольных треугольников. Для каждого треугольника:

Для первого треугольника с биссектрисами \(a\) и \(b\):
\(c_1 = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) см.

Для второго треугольника, где биссектрисы также равны \(a\) и \(b\):
\(c_2 = \sqrt{a^2 + b^2} = 5\) см.

5. Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катеты равные \(a\) и \(b\), и гипотенузу равную \(c_1\) или \(c_2\).

6. Площадь каждого из треугольников можно найти, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:
Площадь = \(\frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2\).

Таким образом, площадь одного треугольника:
\(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\) см².

7. Поскольку каждый из четырех треугольников имеет одинаковую площадь, площадь всего параллелограмма равна:
\(4 \cdot 6 = 24\) см².

Итак, площадь параллелограмма равна 24 квадратным сантиметрам.

Answer 2

Чтобы найти площадь параллелограмма, нам необходимо знать длину биссектрис и угол между ними. В данном случае, мы знаем длины биссектрис соседних углов, но нам неизвестен угол между ними.

Давайте обозначим длины биссектрис как AC = 3 см и BD = 4 см. Предположим, что угол между биссектрисами равен θ.

Находим длины сторон параллелограмма

Так как биссектрисы соседних углов пересекаются на противоположной стороне параллелограмма, мы можем получить равенство сторон параллелограмма.

AC = BD = 3 см AB = CD = BC = AD (соответствующие стороны параллелограмма)

Находим угол между биссектрисами

Для нахождения угла между биссектрисами, мы можем использовать теорему косинусов. В треугольнике ABC, где AB = AC = 3 см и BC = 4 см, мы можем найти угол CAB.

Используя теорему косинусов, мы можем записать: cos(θ) = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2 * AC * BC)

Подставляя известные значения, мы получаем: cos(θ) = (3^2 + 4^2 - 3^2) / (2 * 3 * 4) cos(θ) = (9 + 16 - 9) / (2 * 3 * 4) cos(θ) = 16 / 24 cos(θ) = 2 / 3

Теперь, чтобы найти угол θ, мы можем применить обратную функцию косинуса: θ = arccos(2 / 3) θ ≈ 48.19°

Находим площадь параллелограмма

Теперь, имея длины сторон параллелограмма и угол между ними, мы можем найти площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из сторон на высоту, опущенную на эту сторону. Высота параллелограмма равна проекции одной из сторон на другую, умноженной на синус угла между этими сторонами.

В данном случае, мы можем использовать сторону AC (или BD) в качестве высоты и сторону AB (или CD) в качестве основания.

Высота = AC * sin(θ) Высота = 3 * sin(48.19°)

Площадь = AB * Высота Площадь = AB * 3 * sin(48.19°)

Так как AB = CD, мы можем записать: Площадь = CD * 3 * sin(48.19°)

Вычисляем площадь параллелограмма

Подставляя известные значения, мы получаем: Площадь = 3 * 3 * sin(48.19°) Площадь ≈ 12.94 см^2

Таким образом, площадь параллелограмма составляет примерно 12.94 квадратных сантиметра.