Question

Три із чотирьох кутів, що утворилися при перетині двох прямих, рівні між собою. Доведіть, що прямі перпенди- кулярні.​

Answer 1

При пересечении двух прямых появляются вертикальные углы.

Одно из свойств вертикальных углов - противоположные углы при их создании равны

Рассмотрим пример: на фото ниже мы видим вертикальные углы на практике. При создании вертикальных углов пара малого и большего угла создают развёрнутый угол в 180°.

Как мы видим, при разности углов данной пары противоположные углы равны, отсюда - равенство лишь двух углов

Рассмотрим наши требования. Если провести перпендикуляр с какой-либо точки, увидим следующее: перпендикуляр создаёт угол в 90°. Соседний прямой угол прямого угла создают в сумме 180°. Продолжая перпендикуляр по идентичной траектории, увидим, что на обратной стороне прямой будут такие же прямые углы. Следуя по таким соображениям, мы можем заметить, что все углы равны и наши условия пересечения двух прямых полностью справедливы и действительны

Что и требовалось доказать

Answer 2

Для доведення того, що прямі перпендикулярні, використовують одну з важливих властивостей геометричних фігур: якщо дві прямі утворюють однакові кути з трьома із чотирьох кутів, що утворилися при їх перетині, то ці прямі є перпендикулярними.

Для початку, давайте позначимо наші прямі як AB і CD, де A і C - точки перетину прямих, а B і D - інші точки на цих прямих. Тепер, ми маємо 4 кути: ∠ABC, ∠CBD, ∠CDA і ∠DAB.

За умовою задачі ми знаємо, що три із цих кутів (наприклад, ∠ABC, ∠CBD і ∠CDA) рівні між собою. Отже, ми можемо записати:

∠ABC = ∠CBD = ∠CDA = x (де x - це величина кута)

Тепер давайте розглянемо два прямокутних трикутники: ABD і BCD. Ми знаємо, що сума кутів в будь-якому трикутнику дорівнює 180 градусів.

У трикутнику ABD ми маємо такі кути:

∠ABD (прямий кут) + ∠DAB + ∠ABC = 180 градусів

Оскільки ∠ABC = x і ∠DAB = x, то:

90 градусів + x + x = 180 градусів

2x + 90 градусів = 180 градусів

2x = 90 градусів

x = 45 градусів

Тепер ми знаємо, що величина кута x дорівнює 45 градусів. Отже, ми довели, що ∠ABC = 45 градусів, ∠CBD = 45 градусів і ∠CDA = 45 градусів.

Тепер можемо перевірити, чи прямі AB і CD є перпендикулярними. Якщо сума кутів, що утворюються при їх перетині, дорівнює 90 градусів (тобто ∠ABC + ∠CBD = 90 градусів), то це свідчить про їх перпендикулярність.

∠ABC + ∠CBD = 45 градусів + 45 градусів = 90 градусів

Отже, ми довели, що прямі AB і CD є перпендикулярними.