Question

Помогите, пожалуйста Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору АВ, если A(1;2;-4) и B(6;2;-8)

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

A(1;2;-4) и B(6;2;-8)

Найдем координати вектора АВ

АВ={6-1; 2-2; -8-(-4)}={5; 0; -4}

Тогда уравнение прямой проходящей через А и перпендикулярной к АВ будет

5(х-1)+0(у-2)-4(z+4)=0

5x-5-4z-16=0

5x-4z-21=0

Answer 2

Для составления уравнения плоскости, проходящей через точку \(A\) и перпендикулярной вектору \(\overrightarrow{AB}\), можно использовать общее уравнение плоскости в пространстве.

У нас есть точка \(A(1; 2; -4)\) и точка \(B(6; 2; -8)\). Вектор \(\overrightarrow{AB}\) можно найти, вычислив разность координат этих точек:

\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (6 - 1; 2 - 2; -8 - (-4)) = (5; 0; -4) \]

Теперь, чтобы найти уравнение плоскости, перпендикулярной вектору \(\overrightarrow{AB}\) и проходящей через точку \(A(1; 2; -4)\), используем общее уравнение плоскости:

Общее уравнение плоскости в пространстве выглядит так:

\[Ax + By + Cz = D\]

Где \((A, B, C)\) - нормальный вектор к плоскости, а \(D\) - свободный член.

Нормальный вектор к плоскости можно взять равным вектору \(\overrightarrow{AB}\) (или ему пропорциональному, так как они коллинеарны), то есть \((5, 0, -4)\).

Теперь подставим координаты точки \(A(1; 2; -4)\) в уравнение плоскости:

\[5x + 0y - 4z = D\] \[5x - 4z = D\]

Чтобы найти \(D\), подставим координаты точки \(A\) в это уравнение:

\[5(1) - 4(-4) = D\] \[5 + 16 = D\] \[D = 21\]

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку \(A(1; 2; -4)\) и перпендикулярной вектору \(\overrightarrow{AB}\), будет:

\[5x - 4z = 21\]