Question

Із точок А і С, які лежать в одній півплощині відносно прямої m, опущено перпендикуляри АА1 і СС1 на цю пряму. Відомо, що АА1 = 7 см, СС1=1 см, АС =6 см. Якого найменшого значення може набувати сума АХ + ХС, де Х-точка, що належить прямій m?

Answer 1

Ответ:

AX+XC =AC' =√(8^2 +6^2) =10

Объяснение:

C' - точка, симметричная С относительно прямой m.

Отрезок AC' - кратчайшее расстояние между точками.

Тогда AX+XC - наименьшая сумма (XC=XC')

Найдем ее как гипотенузу △ABC'

Answer 2

Позначимо точку X, що належить прямій m. За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику АА1Х маємо: АХ² = АА1² - ХА1² (1), так як пункт X лежить на прямій m, то пункт X також лежить на прямій, що проходить через точки А1 и С1. Отже, в прямокутному трикутнику СС1Х маємо: ХС² = СС1² - ХС1² (2).

Оскільки точки А і С лежать в одній півплощині відносно прямої m, то маємо:

АС + С1Х = АХ + ХС (3).

Підставимо значення АХ і ХС з (1) і (2) в (3):

АС + С1Х = АА1² - ХА1² + СС1² - ХС1².

Підставимо значення АС, С1Х, АА1 і СС1 з умови задачі:

6 + 1 = 7² - ХА1² + 1² - ХС1².

Скоротимо:

7 = 49 - ХА1² + 1 - ХС1².

Спростимо:

-42 = - ХА1² - ХС1².

Розділимо обидві частини на -1:

42 = ХА1² + ХС1².

За властивостю півплощини, сума квадратів відстаней до кінців відрізка завжди менша за квадрат довжини цього відрізка, отже

ХА1² + ХС1² ≥ АА1² + СС1².

Оскільки АА1 = 7 см, СС1 = 1 см, то маємо:

ХА1² + ХС1² ≥ 7² + 1².

ХА1² + ХС1² ≥ 49 + 1 = 50.

Отже, мінімальне значення суми ХА1 + ХС, яке може набувати, - це 50.