Question

В прямоугольном треугольнике (∠B = 90°) величина угла A составляет 60°. Из вершины угла A проведена биссектриса AD, которая разбивает противоположный катет на отрезки BD и DC. 1. Докажите, что ΔBCA∼ΔBAD. 2. Найдите отношение BD:DС. Ответ запишите в виде отношения чисел.

Answer 1

1. В прямоугольных треугольниках △ВСА и △BAD два угла прямые. <BAD=30° (так как AD - биссектриса), <BCA=90-<A=90-60=30° => <BAD=<BCA, значит ΔBCA∼ΔBAD по двум углам.

2. AD - бис-са, значит по свойству биссектрисы можем записать отношение:

AB/AC=BD/DC

sinBCA=sin30°=1/2

sinBCA=AB/AC

Из этого следует что: BD/DC=1/2

Answer 2

1. Для доказательства подобия Δbca и Δbad можно использовать два критерия подобия треугольников: общее соотношение синусов и соотношение длин сторон.

Обратимся к общему соотношению синусов: В Δbca угол a равен 60°, а угол b равен 90°, поэтому угол c будет равен 30° (сумма углов треугольника равна 180°). В Δbad угол a равен 60°, угол d также будет равен 60° (поскольку ad является биссектрисой угла a) и угол b равен 90°.

Таким образом, углы c и d треугольников Δbca и Δbad соответственно равны: c = 30° и d = 60°. Общее соотношение синусов для подобных треугольников принимает вид:

sin(c) / sin(a) = sin(d) / sin(b)

Подставляя известные значения, получаем:

sin(30°) / sin(60°) = sin(60°) / sin(90°)

(sin(30°) * sin(90°)) / (sin(60°) * sin(60°)) = 1 / 2

(1/2) / (1/2) = 1

Полученное равенство подтверждает подобие треугольников Δbca и Δbad.

2. Для нахождения отношения длин отрезков bd и dc воспользуемся свойством биссектрисы. Биссектриса угла a делит противоположный катет на отрезки пропорционально прилежащим катетам. То есть, отношение длин отрезков bd и dc равно отношению длин прилежащих катетов, то есть отношению длин сторон bc и ac.

Отношение длин сторон bc и ac можно найти, применив теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике bc² = ab² + ac². Учитывая, что ab = bd + ad, а ac = dc + ad, можно записать:

bc² = (bd + ad)² + (dc + ad)²

Теперь можно найти отношение bd:dс, используя рассчитанные значения:

bd / dс = √[(bc² - (dc + ad)²) / (bd + ad)²]

Расчет этого выражения приведет к численному значению отношения bd:dс.