Question

Помогите пожалуйста!! 35 баллов Задание 1. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота AD. Определите длину AD, если BD = 4 см, DC = 9 см. Указание: для решения воспользуйтесь утверждением, что высота прямоугольного треугольника разбивает его на два треугольника, подобных друг другу. Задание 2. В прямоугольном треугольнике (∠A = 90°) величина угла B составляет 30°. Из вершины угла C проведена биссектриса CD, которая разбивает противоположный катет на отрезки AD и BD. докажите, что ∆ABC ~ ∆ACD; найдите отношение AD : BD. Задание 3. В треугольнике ABC проведена средняя линия KL (KL || AC). В полученном треугольнике BKL проведена средняя линия MN (MN || BK). Определите периметр треугольника LMN, если периметр треугольника ABC составляет 80 см.

Answer 1

Объяснение:см. во вложении

Answer 2

Конечно, давайте решим каждую из задач по порядку.

Задание 1:

Пусть $AD = x$. Так как высота прямоугольного треугольника разбивает его на два подобных треугольника, то отношение сторон этих треугольников равно отношению сторон большего треугольника.

$\frac{BD}{AD} = \frac{AD}{CD}$

Подставим известные значения:

$\frac{4}{x} = \frac{x}{9}$

Решая уравнение относительно $x$, мы получим:

$x^2 = 4 \times 9$

$x = \sqrt{36} = 6$

Таким образом, длина $AD$ равна 6 см.

Задание 2:

Для доказательства подобия треугольников $ABC$ и $ACD$, нам нужно показать, что соответствующие углы этих треугольников равны.

Угол $B$ равен $30^\circ$, а так как $CD$ является биссектрисой угла $C$, то углы $ACD$ и $BCD$ равны. Таким образом, углы $A$ и $ACD$ также равны, и треугольники подобны по углам.

Отношение сторон $AD$ и $BD$ можно найти так:

$\frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC}$

$\frac{AD}{4} = \frac{AC}{AC}$

$\frac{AD}{4} = 1$

$AD = 4$

Таким образом, отношение $AD : BD$ равно $4 : 1$.

Задание 3:

Если $KL$ - средняя линия треугольника $ABC$, то она делит сторону $AC$ пополам. Поэтому, отрезок $BK$ также делится пополам, и $BM = MK$.

Аналогично, если $MN$ - средняя линия треугольника $BKL$, то она делит сторону $BK$ пополам, и $BN = NK$.

Таким образом, треугольник $LMN$ является подобным треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $1/2$.

Поскольку периметр - это сумма всех сторон треугольника, периметр треугольника $LMN$ будет также равен половине периметра треугольника $ABC$.

$\text{Периметр } LMN = \frac{\text{Периметр } ABC}{2} = \frac{80}{2} = 40 \text{ см}$

Таким образом, периметр треугольника $LMN$ равен 40 см.