Question

Помогите с геометрией. ABCD - равнобедренная трапеция. AD - большее основание. Разность между периметрами треугольников ACD и BAC равна 6 см, средняя линия трапеции - 12 см. Вычислите длины оснований трапеции.

Answer 1

AB=CD;
PΔABC+6см=PΔACD;
PΔABC=AB+BC+AC;
PΔACD=AC+CD+AD;
AB+BC+AC+6=AC+CD+AD;
BC+6=AD;
(BC+AD)/2=12см;
(BC+BC+6)=24;
2BC=18;BC=9(см);
AD=9+6=15(см)

Answer 2

Решение:

Для начала, обозначим длину основания трапеции ABCD как \( a \), а длину боковой стороны (например, AD) как \( b \). Также обозначим длину средней линии трапеции как \( m \).

Так как трапеция ABCD - равнобедренная, то \( AB = CD = a \), а \( AD = BC = b \).

Периметр треугольника ACD равен \( 2b + a \), а периметр треугольника BAC равен \( a + 2\sqrt{m^2 - \left(\frac{b - a}{2}\right)^2} \), где \( \sqrt{m^2 - \left(\frac{b - a}{2}\right)^2} \) - это длина высоты треугольника BAC, проведенной из вершины A.

Учитывая условие задачи, получаем уравнение:

\( 2b + a - (a + 2\sqrt{m^2 - \left(\frac{b - a}{2}\right)^2}) = 6 \)

Также из условия известно, что \( m = 12 \).

Теперь мы можем решить уравнение относительно \( a \) и \( b \).

Для этого сначала найдем значение \( \sqrt{m^2 - \left(\frac{b - a}{2}\right)^2} \):

\( \sqrt{12^2 - \left(\frac{b - a}{2}\right)^2} = 6 \)

\( 144 - \frac{b^2 - 2ab + a^2}{4} = 36 \)

\( 144 \times 4 - b^2 + 2ab - a^2 = 144 \)

\( 576 - b^2 + 2ab - a^2 = 144 \)

\( 2ab - a^2 - b^2 = -432 \)

Теперь подставим это значение в уравнение периметров:

\( 2b + a - (a + 6) = 6 \)

\( 2b - 6 = 6 \)

\( 2b = 12 \)

\( b = 6 \)

Теперь, зная \( b \), мы можем найти \( a \):

\( a = m + \sqrt{m^2 - \left(\frac{b - a}{2}\right)^2} \)

\( a = 12 + \sqrt{12^2 - \left(\frac{6 - a}{2}\right)^2} \)

Подставляя \( b = 6 \) и решая это уравнение, мы можем найти значение \( a \).

Таким образом, решая уравнения, мы найдем значения длин оснований трапеции ABCD.