Question

Помогите пожалуйста решить задачу, только нужно полное решение даю 50 баллов Точка M — середина ребра AD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M и B1 параллельно прямой A1C1. б) В каком отношении плоскость сечения делит диагональ BD1 па- раллелепипеда

Answer 1

Ответ:

б) ВО : ОD₁ = 3 : 4

Объяснение:

а) Построим сечение параллелепипеда.

Проведем МК║АС. Так как АС║А₁С₁, то МК║А₁С₁.

Прямая МК пересечет прямые, содержащие ребра АВ и BC:

MK∩AB = G, MK∩BC = T.

Точки В₁ и G лежат в плоскости боковой грани, значит BG∩AA₁ = H.

Точки В₁ и Т лежат в плоскости задней грани, значит В₁Т∩СС₁ = Р.

МКРВ₁Н - искомое сечение.

б) Назовем секущую плоскость α.

α∩(BB₁D₁) = B₁E,

BD₁∩B₁E = O, значит BD₁ пересекает плоскость сечения в точке О.

Надо найти отношение ВО : ОD₁.

F - середина BD (точка пересечения диагоналей параллелограмма),

МК - средняя линия ΔACD, значит она делит пополам его медиану DF (по теореме Фалеса),

$DE=\dfrac{BD}{4}$    ⇒

$BE=\dfrac{3}{4}BD$

ΔBOE ~ ΔD₁OB₁ по двум углам (∠1 = ∠2 как накрест лежащие, углы при вершине О равны как вертикальные), тогда, учитывая, что BD = B₁D₁, получаем:

$\dfrac{BO}{OD_1}=\dfrac{BE}{B_1D_1}=\dfrac{\dfrac{3}{4}BD}{B_1D_1}=\dfrac{3}{4}$

ВО : ОD₁ = 3 : 4

Answer 2

a) Чтобы построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки m и b1 параллельно прямой a1c1, нужно найти точку пересечения этой плоскости с ребром ad.

1. Найдем координаты точки m: Точка m — середина ребра ad. Значит, координаты точки m можно найти, как среднее арифметическое координат точек a и d: xm = (xa + xd) / 2 ym = (ya + yd) / 2 zm = (za + zd) / 2

2. Найдем координаты точки b1: Точка b1 — вершина параллелограмма abcda1b1c1d1, смежная с точкой b по ребру bb1. Значит, координаты точки b1 можно найти, прибавив к координатам точки b вектор, параллельный вектору c1a1: xb1 = xb + (xc1 - xa1) yb1 = yb + (yc1 - ya1) zb1 = zb + (zc1 - za1)

3. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки m и b1: Уравнение плоскости в общем виде имеет вид Ax + By + Cz + D = 0. Для нахождения коэффициентов A, B, C и D подставим в уравнение координаты точек m и b1: Am + Bm + Cm + D = 0 Ab1 + Bb1 + Cb1 + D = 0

Таким образом, мы получаем систему уравнений: Am + Bm + Cm + D = 0 Ab1 + Bb1 + Cb1 + D = 0

4. Решим систему уравнений и найдем коэффициенты A, B, C и D: Произвольно выберем одну из переменных (например, A), и выразим остальные через нее: A = - (Bm + Cm + D) / m A = - (Bb1 + Cb1 + D) / b1

Подставим это во второе уравнение системы: - (Bm + Cm + D) / m * xm + Bm / m * ym + Cm / m * zm - D / m = - (Bb1 + Cb1 + D) / b1 * xb1 + Bb1 / b1 * yb1 + Cb1 / b1 * zb1 - D / b1

Из этого уравнения можно выразить переменную B через переменные m и b1: B = - ( (Bb1 + Cb1 + D) / b1 * xb1 + Bb1 / b1 * yb1 + Cb1 / b1 * zb1 - D / b1 + (Bm + Cm + D) / m * xm - Cm / m * zm - D / m) / (xm / m - ym / m)

Теперь, имея коэффициенты A, B, C и D, мы можем записать уравнение плоскости, проходящей через точки m и b1: Ax + By + Cz + D = 0

b) Чтобы найти отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ bd1 параллелепипеда, нужно найти точку пересечения этой плоскости с диагональю и выразить отношение через найденные координаты.

1. Найдем координаты точки пересечения плоскости с диагональю bd1: Подставим координаты точки b и d1 в уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0

Получим уравнение с одной неизвестной (например, z), которое можно решить и найти координаты точки пересечения.

2. Выразим отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ bd1: Рассчитаем длину отрезка, образованного точками b и точкой пересечения. Рассчитаем длину отрезка, образованного точкой пересечения и точкой d1. Затем, разделим первую длину на вторую, чтобы найти отношение.

Таким образом, получим отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ bd1 параллелепипеда.