Question

- Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.​

Answer 1

Доказательство: (рисунок в помощь)
Биссектриса h внешнего угла B делит этот угол напополам. То есть одна половина внешнего угла равна внутреннему углу 1. А т.к. биссектриса h параллельна стороне AC, то из параллельности прямых следует, что соответственные углы равны, т.е. углы 2 и 3 равные. А так как половина внешнего угла (угол 3) равна внутреннему углу 1, то угол 1= углу 2. А эти углы- углы при основании ВС, если углы при основании равны- треугольник равнобедренный, что и требовалось доказать.
Надеюсь, понятно объяснила)

Answer 2

Для доказательства этого утверждения нам понадобится некоторая предварительная информация.

Пусть у нас есть треугольник ABC, внешний угол BAC которого представляет собой выпуклый угол, а его биссектриса AD параллельна стороне BC. Нам нужно доказать, что треугольник ABC является равнобедренным.

Предположим, что треугольник ABC не является равнобедренным, т.е. его сторон не равны. Обозначим стороны треугольника как AB = c, BC = a, AC = b.

Так как AD является биссектрисой угла BAC, то она делит угол BAC пополам. Возьмем точку E на стороне AC, такую что BE параллельна AD.

Из теоремы Талла следует, что AE/EC = AB/BC = c/a.

Теперь рассмотрим треугольник BDE. Так как DE параллельна BC, то по теореме Талла имеем BD/DE = AB/AC = c/b.

Из этих двух равенств можно заключить, что AE/EC = BD/DE, так как их правые части равны друг другу.

Рассмотрим треугольники AEC и BDE. У них соответственные стороны пропорциональны, а одна пара углов равна (по построению AD и BE параллельны и AE является их поперечной прямой).

По теореме подобия треугольников, такие треугольники подобны. Это означает, что их углы также равны.

Так как треугольники AEC и BDE имеют равные углы, их третьи углы тоже равны друг другу. Поэтому угол BDE равен углу EAC.

Так как AD и BE параллельны, то угол EAC и угол EBA являются внутренними соответственными углами, а значит они равны.

Таким образом, мы получаем, что угол BDE равен углу EBA. Однако треугольник BDE не может быть равнобедренным, поскольку его стороны BD и DE отличаются, в то время как углы при них равны. Получили противоречие.

Это означает, что наше предположение было неверно, и треугольник ABC должен быть равнобедренным, если его биссектриса AD параллельна стороне BC.