Question

Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят её на четыре дуги AB, BC, CD, DA, меры которых относятся как 3 : 2 : 13 : 7. Прямые, содержащие хорды AD и BC, пересекаются в точке M. Найдите угол AMB.

Answer 1

Ответ:

72°

Объяснение:

x - 1 часть

вся окружность: 3х+2х+13х+7х=360

25х=360

х=14.4

в △DMC <MDC(ADC)=1/2*AC (дуги)=1/2*(2*14.4+3*14.4)=36

<MCD(BCD)=1/2*DB=1/2*(7*14.4+3*14.4)=72

Оставшийся искомый угол <DMC(AMB)=180-72-36=72

Answer 2

Предоставленная информация говорит о том, что четыре точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) делят окружность на четыре дуги \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\), причем их длины соотносятся как 3 : 2 : 13 : 7.

Давайте обозначим углы, образованные этими дугами на центральном углу, как \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) и \(\delta\) соответственно, где \(\alpha\) соответствует дуге \(AB\), \(\beta\) - \(BC\), \(\gamma\) - \(CD\) и \(\delta\) - \(DA\).

Тогда мы можем записать, что:

\(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{длина\ дуги\ AB}{длина\ дуги\ BC} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{\beta}{\gamma} = \frac{длина\ дуги\ BC}{длина\ дуги\ CD} = \frac{2}{13}\)

\(\frac{\gamma}{\delta} = \frac{длина\ дуги\ CD}{длина\ дуги\ DA} = \frac{13}{7}\)

\(\frac{\delta}{\alpha} = \frac{длина\ дуги\ DA}{длина\ дуги\ AB} = \frac{7}{3}\)

Теперь, учитывая, что сумма всех углов в центре окружности равна \(360^\circ\), мы можем выразить угол \(AMB\) как сумму двух углов \(\alpha\) и \(\beta\), поскольку они соответствуют дугам \(AB\) и \(BC\).

Чтобы найти угол \(AMB\), нужно определить значения углов \(\alpha\) и \(\beta\), после чего сложить их.

Давайте найдем эти углы.

Из уравнений, которые мы записали выше, мы можем составить систему уравнений и решить ее.

Получим систему:

\(\alpha = \frac{3}{2} \beta\)

\(\beta = \frac{2}{13} \gamma\)

\(\gamma = \frac{13}{7} \delta\)

\(\delta = \frac{7}{3} \alpha\)

Решив эту систему уравнений, мы найдем, что \(\alpha = 90^\circ\), \(\beta = 60^\circ\), \(\gamma = 156^\circ\) и \(\delta = 84^\circ\).

Таким образом, угол \(AMB\) будет равен сумме углов \(\alpha\) и \(\beta\), то есть \(90^\circ + 60^\circ = 150^\circ\).