Question

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах B₁C₁ и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём PC₁ = 3, а AQ = 4. Плоскость A₁P Q пересекает ребро BC в точке M. Найдите расстояние от точки B до плоскости A₁PQ.Решите задачу, не используя объем.

Answer 1

Решение : //////////////////////////////////////

Answer 2

Чтобы найти расстояние от точки B до плоскости A₁PQ, мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости.

Формула для расстояния от точки до плоскости выглядит следующим образом:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²),

где (x₀, y₀, z₀) - координаты точки B, A, B, C - коэффициенты уравнения плоскости A₁PQ (Ax + By + Cz + D = 0).

Для начала найдем уравнение плоскости A₁PQ. Заметим, что плоскость A₁PQ проходит через точки A₁, P и Q. Так как мы знаем координаты этих точек и можем найти векторы A₁P и A₁Q, то сможем найти нормальный вектор плоскости.

Координаты точек: A₁(0, 0, 2), P(12, 0, 3), Q(0, 4, 0).

Векторы: A₁P = P - A₁ = (12, 0, 3) - (0, 0, 2) = (12, 0, 1), A₁Q = Q - A₁ = (0, 4, 0) - (0, 0, 2) = (0, 4, -2).

Найдем векторное произведение векторов A₁P и A₁Q: N = A₁P × A₁Q = (12, 0, 1) × (0, 4, -2).

Для нахождения векторного произведения воспользуемся правилом Саррюса (для 3D векторов): N = ((0 * 1) - (-2 * 0), (2 * 0) - (1 * 0), (12 * 4) - (0 * 0)) = (0, 0, 48).

Таким образом, нормальный вектор плоскости A₁PQ равен N = (0, 0, 48).

Теперь у нас есть коэффициенты уравнения плоскости A₁PQ: A = 0, B = 0, C = 48.

Найдем коэффициент D. Для этого подставим координаты точки A₁(0, 0, 2) в уравнение плоскости: 0 * 0 + 0 * 0 + 48 * 2 + D = 0, 96 + D = 0, D = -96.

Таким образом, уравнение плоскости A₁PQ имеет вид: 48z - 96 = 0, или просто z = 2.

Теперь у нас есть уравнение плоскости A₁PQ: 48z - 96 = 0.

Найдем координаты точки B. Так как сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2, то координаты точки B будут (12, 0, 0).

Теперь мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²),

где (x₀, y₀, z₀) = (12, 0, 0), A = 0, B = 0, C = 48, D = -96.

Подставляем значения в формулу:

d = |0 * 12 + 0 * 0 + 48 * 0 + (-96)| / √(0² + 0² + 48²), d = |-96| / √(0 + 0 + 2304), d = 96 / √2304, d = 96 / 48, d = 2.

Таким образом, расстояние от точки B до плоскости A₁PQ равно 2.