Question

16. Четырёхугольник MNPK вписан в окружность. Угол MNP ра- вен 110°, угол MNK равен 62° (см. рис. 88). Найдите угол РМК. Ответ дайте в градусах.

Answer 1

Ответ:

∠PMK = 48°

Объяснение:

• Найдём ∠KNP:

∠KNP = ∠MNP - ∠MNK = 110°-62° = 48°

• ∠KNP = ∠PMK как вписанные, опирающиеся на одну дугу PK

Значит ∠PMK =42°

Answer 2

Для того чтобы найти угол PMK в четырёхугольнике MNPK, нам понадобится знание о свойствах углов, образующих вписанный четырёхугольник в окружности.

Свойство 1: Угол, образованный хордой, равен половине центрального угла, соответствующего этой хорде. В данном случае хордой является отрезок MN, а центральный угол, соответствующий этой хорде, равен углу MNP, который равен 110°. Следовательно, угол MNK равен половине этого угла, то есть 110° / 2 = 55°.

Свойство 2: Угол, образованный хордой и касательной к окружности в точке их пересечения, равен половине разности дуг, ограниченных этой хордой и окружностью. В данном случае хордой является отрезок MN, а касательной к окружности в точке N мы видим на рисунке. Следовательно, угол PMK равен половине разности дуг MPMN и NK, которые ограничены хордой MN и окружностью.

Для нахождения угла PMK, нам нужно найти длины дуг MPMN и NK. Для этого мы знаем, что дуга MPMN равна углу MNK, который мы уже вычислили как 55°. Теперь нам нужно найти дугу NK.

Дуга NK = 360° (полный угол окружности) - дуга MPMN - угол MNP Дуга NK = 360° - 55° - 110° = 205°

Теперь мы можем найти угол PMK, используя свойство 2:

Угол PMK = (1/2) * (дуга MPMN - дуга NK) Угол PMK = (1/2) * (55° - 205°) Угол PMK = (1/2) * (-150°) Угол PMK = -75°

Ответ: Угол PMK равен -75°.