Question

Основою піраміди є ромб, сторона якого дорівнює 16 см і гострий кут дорівнює 30°. Усі двогранні кути при основі дорівнюють60°. Обчисли висоту і площу бічної поверхні піраміди.

Answer 1

Ответ:

$KP = 4\sqrt{3}$ см

$S_{bp} = 256$ см²

Объяснение:

Дано: AB = BC = CD = AD = 16 см, ∠BAD = 30°, ∠KHO = 60°, KH ⊥ AB,

OH ⊥ AB, KO ⊥ ABC, KABCD - піраміда

Знайти: KO, $S_{bp}$ - ?

Розв'язання: Так як основою піраміди KABCD є ромб ABCD за умовою і всі двогранні кути піраміди рівні, то точка O - є точкою перетину діагоналей ромба. За властивістю ромба його діагоналі перетинаються під кутом 90° і точкою перетину діляться навпіл, отже AO = OC, DO = OB. Так як трикутники ΔAOB, ΔCOB, ΔCOD і ΔAOD - прямокутні, пр цоьму  AO = OC, DO = OB, от за формулою площі прямокутного трикутника:

$S_{зAOB} = S_{зCOB} = S_{зCOD} = S_{зAOD}$, отже $S_{ABCD} = 4S_{зAOB}$.

Так як за умовою OH ⊥ AB, то OH - висота трикутника ΔAOB, отже  

$S_{зAOB} = \dfrac{OH \cdot AB}{2}$. За формулою площі ромба: $S_{ABCD} = AB^{2} \sin \angle BAD$.

$4S_{зAOB} = AB^{2} \sin \angle BAD$

$\dfrac{4OH \cdot AB}{2} = AB^{2} \sin \angle BAD$

$2OH \cdot AB = AB^{2} \sin \angle BAD|:2AB$

$OH = \dfrac{AB\cdot \sin \angle BAD}{2} = \dfrac{16 \cdot 0,5}{2} = 8 \cdot 0,5 = 4$ см.

Розглянемо прямокутний трикутник ΔKOH:

$tg \ \angle KHO = \dfrac{KO}{OH} \Longrightarrow KO = OH \cdot tg \ \angle KHO = 4 \cdot tg(60^{\circ}) = 4\sqrt{3}$ см.

Так як усі грані піраміди рівні за площею трикутники, то

$S_{bp} = 4S_{зKAB} = \dfrac{4KH \cdot AB}{2} = 2KH \cdot AB = \dfrac{2 \cdot AB \cdot OH}{\cos \angle KHO} = \dfrac{2 \cdot 16 \cdot 4}{\cos 60^{\circ}} =$

$=\dfrac{128}{0,5} = 256$ см².

Answer 2

Для обчислення висоти і площі бічної поверхні піраміди, нам потрібно використати геометричні властивості піраміди з ромбовою основою.

Спочатку розглянемо висоту піраміди. Ми можемо використовувати трикутник, який утворюється з висотою, однією стороною ромба і половиною діагоналі ромба. Маємо таку інформацію:

Сторона ромба (a) = 16 см Гострий кут ромба (α) = 30°

Діагональ ромба може бути знайдена за допомогою тригонометричних функцій. Ми знаємо, що кут між діагоналлю і стороною ромба дорівнює 30° (α). Тоді можемо використовувати тригонометричну функцію синуса:

sin(α) = (протилежна сторона) / (гіпотенуза)

sin(30°) = (протилежна сторона) / (діагональ ромба)

sin(30°) = (a / 2) / діагональ ромба

Знаючи значення синуса 30° (0.5) і довжину сторони ромба (a = 16 см), ми можемо знайти діагональ ромба:

0.5 = (16 / 2) / діагональ ромба

0.5 = 8 / діагональ ромба

Діагональ ромба = 8 / 0.5 = 16 см

Тепер, коли ми знайшли діагональ ромба, ми можемо використати трикутникову теорему Піфагора, щоб знайти висоту піраміди (h):

h² = (діагональ ромба / 2)² - (a / 2)²

h² = (16 / 2)² - (16 / 2)²

h² = 64 - 64

h² = 0

h = √0

h = 0

Отже, висота піраміди дорівнює 0 см.

Тепер обчислимо площу бічної поверхні піраміди. Площа бічної поверхні піраміди з ромбовою основою може бути знайдена за допомогою наступної формули:

Площа бічної поверхні = (периметр ромба) * (висота) / 2

Оскільки висота дорівнює 0 см, то площа бічної поверхні піраміди також дорівнює 0.

Отже, висота піраміди дорівнює 0 см, а площа бічної поверхні піраміди дорівнює 0 квадратним сантиметрам.