Question

Стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен 60◦ . Через центр вписанной окружности этого треугольника и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите ее радиус. ​

Answer 1

Ответ:

R = 1

Объяснение:

АС = 1

АВ = 2

∠А = 60°

По теореме косинусов найдем сторону ВС:

$BC=\sqrt{AC^2+AB^2-2\cdot AC\cdot AB\cdot \cos \angle A}$

$BC=\sqrt{1+4-2\cdot 2\cdot \dfrac{1}{2}}=\sqrt{5-2}=\sqrt{3}$

Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис.

∠АВС + ∠АСВ = 180° - 60° = 120°

$\angle OBC+\angle OCB = \dfrac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=\dfrac{1}{2}\cdot 120^\circ=60^\circ$

Из ΔОВС:

∠ВОС = 180° - (∠ОВС + ∠ОСВ) = 180° - 60° = 120°

Так как окружность проходит через точки О, В и С, то она описана около ΔОВС.

По следствию из теоремы синусов:

$2R=\dfrac{BC}{\sin \angle BOC}=\dfrac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$

R = 1

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности в треугольник.

Ваш треугольник имеет стороны равными 1 и 2, а угол между ними равен 60 градусов. Мы можем использовать закон синусов, чтобы найти длину третьей стороны треугольника. Закон синусов гласит:

\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - стороны треугольника, а \(A\), \(B\), и \(C\) - соответствующие противолежащие углы.

В данном случае, мы знаем, что стороны \(a\) и \(b\) равны 1 и 2 соответственно, и что угол \(C\) равен 60 градусов. Таким образом, у нас есть:

\[ a = 1, \quad b = 2, \quad C = 60^\circ \]

Теперь мы можем найти угол \(A\), противолежащий стороне \(a\), используя закон синусов:

\[ \frac{1}{\sin(A)} = \frac{2}{\sin(60^\circ)} \]

\[ \sin(A) = \frac{1}{2\sin(60^\circ)} \]

\[ \sin(A) = \frac{1}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

\[ \sin(A) = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Теперь найдем угол \(A\):

\[ A = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \]

\[ A \approx 30^\circ \]

Теперь у нас есть значения для углов \(A\) и \(C\), а также стороны \(a\) и \(b\). Мы можем использовать эти значения для расчета стороны \(c\) (противолежащей углу \(C\)):

\[ c = \frac{a}{\sin(A)} = \frac{1}{\sin(30^\circ)} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]

Итак, сторона \(c\) также равна 2.

Теперь у нас есть все стороны треугольника: \(a = 1\), \(b = 2\), и \(c = 2\). Мы можем найти полупериметр \(s\), который используется для расчета радиуса вписанной окружности, с помощью формулы:

\[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{1 + 2 + 2}{2} = \frac{5}{2} \]

Теперь, используя формулу для радиуса вписанной окружности \(r\), где \(s\) - полупериметр, и \(A\) - площадь треугольника, мы можем найти радиус \(r\):

\[ A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]

\[ A = \sqrt{\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \]

\[ A = \sqrt{\frac{15}{32}} \]

Теперь найдем радиус \(r\):

\[ r = \frac{A}{s} = \frac{\sqrt{\frac{15}{32}}}{\frac{5}{2}} \]

\[ r = \frac{2\sqrt{\frac{15}{32}}}{5} \]

Теперь давайте упростим значение радиуса:

\[ r = \frac{\sqrt{15}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{15}}{4\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \]

\[ r = \frac{\sqrt{30}}{8} \]

Итак, радиус вписанной окружности этого треугольника равен \(\frac{\sqrt{30}}{8}\).