Question

У трикутнику АВС проведено бісектрису АK. Центр кола, вписаного в трикутник АKВ, збігається із центром кола, описаного навколо трикутника АВС. Знайдіть кути трикутника АВС.

Answer 1

Ответ:

72° ; 72° ; 36°

Объяснение:

Answer 2

Означимо дані: назвемо центр кола, вписаного в трикутник АКВ, точкою I, а центр кола, описаного навколо трикутника АВС, точкою O.

Так як бісектриса АК є одночасно і бісектрисою кута А в трикутнику АВС, то вона ділить кут А навпіл. Отже, кут КАВ = кут КАС.

Також, оскільки центр кола, вписаного в трикутник АКВ, збігається з центром кола, описаного навколо трикутника АВС, то відрізок ОI є перпендикуляром до сторони АВ. Оскільки ОI є перпендикуляром до сторони АВ, то ОI є середньою лінією в прямокутному трикутнику АОВ. Тому, відрізок ОI ділить кут АОВ навпіл.

Таким чином, кут КАС = кут КАВ = кут АОВ. Оскільки сума кутів в трикутнику дорівнює 180 градусам, то кут А + кут КАС + кут КАВ = 180 градусам. Замінюючи кути на їх значення, отримуємо:

А + кут А + кут АОВ = 180 градусам.

Скорочуючи, отримуємо:

3А + кут АОВ = 180 градусам.

Оскільки кут АОВ дорівнює куту КАС, то ми можемо замінити кут АОВ на кут КАС. Отримуємо:

3А + кут КАС = 180 градусам.

Тепер, враховуючи, що кут КАС = кут КАВ, ми можемо замінити кут КАС на кут КАВ. Отримуємо:

3А + кут КАВ = 180 градусам.

Звідси ми можемо знайти значення кута А, дійшовши до рівняння:

4А = 180 градусам.

Розділивши обидві частини на 4, отримуємо:

А = 45 градусів.

Тоді кут КАВ = кут КАС = 45 градусів.

Таким чином, кути трикутника АВС дорівнюють 45 градусам.