Question

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ox фігури обмеженої лініями y= -x^2+3, y=2, y=0​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y₁= -x²+3, y₂=2, y=0​

y=0​ - это ось Ох

объем тела вращения вокруг оси Ох, ограниченного функциями у(х)

вычисляется по формуле

$V = \pi \int\limits^b_a {(y_1^2}(x) - y_2^2}(x) )\, dx$  

пределы интегрирования - точки пересечения у₁ и у₂

-x²+3 =2  ⇒   х₁ = -1;  х₂ = 1

$V =\pi \int\limits^{1}_{-1} {((-x^2+3)^2-2^2} )\, dx = \\\pi (\int\limits^{1}_{-1} {(x^4-6x^2+5} )\, dx)= \pi( \int\limits^{1}_{-1} {(x^4} )\, dx- 6\int\limits^{1}_{-1} {(x^2} )\, dx+5\int\limits^{1}_{-1} {} \, dx) =$

$=\pi (\frac{x^5}{5} I_{-1}^1 -6\frac{x^3}{3} I_{-1}^1 +5xI_{-1}^1 )= \pi (\frac{5}{2} -4+10)=\frac{32\pi }{5}$

Answer 2

Для обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням фігури навколо осі Ox, спочатку потрібно знайти площу поперечного перерізу фігури. Для цього, вам потрібно обчислити інтеграл від квадрату функції y= -x^2 + 3 від х=-2 до х=2.

Інтегруючи функцію, отримуємо: ∫[from -2 to 2] (-x^2 + 3) dx

Проведемо обчислення:

∫(-x^2 + 3) dx = [-x^3/3 + 3x] [from -2 to 2] = [(-2^3/3 + 3(2)) - (-(-2)^3/3 + 3(-2))] = [(8/3 + 6) - (-8/3 - 6)] = (8/3 + 6 + 8/3 + 6) = 32/3

Тепер, щоб знайти об'єм тіла, треба помножити площу поперечного перерізу на довжину фігури. Довжину фігури можна обчислити, знаючи, що фігура обмежена лініями y = 2 та y = 0. Тому, довжина фігури дорівнює різниці між значеннями y=2 та y=0.

Довжина фігури = 2 - 0 = 2

Отже, об'єм тіла, утвореного обертанням фігури навколо осі Ox, дорівнює: Об'єм = Площа поперечного перерізу * Довжина фігури Об'єм = (32/3) * 2 Об'єм = 64/3

Таким чином, об'єм тіла, утвореного обертанням фігури обмеженої лініями y = -x^2 + 3, y = 2 та y = 0 навколо осі Ox, дорівнює 64/3.