Question

Обчисліть об'єм тіла,утвореного обертанням навколо осі х фігури, обмеженої лініями y=√x ; у=3 ; х=0 Пожалуйста на листочке с рисунком

Answer 1

$\displaystyle\\V=V_1-V_2=\pi\int\limits^9_0 {25} \, dx-\pi\int\limits^9_0 {x} \, dx\\\\\\\pi\int\limits^9_0 {25} \, dx=\pi(25x)\mid^9_0=\pi(25*9-25*0)=225\pi\\\\\\\pi\int\limits^9_0 {x} \, dx=\pi(\frac{x^2}{2})\mid^9_0=\pi(\frac{9^2}{2}-\frac{0}{2})=\frac{81\pi}{2}\\\\\\V=V_1-V_2=225\pi-\frac{81\pi}{2}=\frac{369\pi}{2}$

Answer 2

Об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Oy фігури, де y(x) - однозначна неперервна функція, обчислюється за допомогою визначеного інтеграла. Для цього потрібно знайти межі інтегрування, тобто знайти точки перетину заданих ліній.

Ваше завдання полягає в обчисленні об'єму тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої лініями y=√x і u=3, навколо осі x. Це означає, що вам потрібно знайти об'єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої лініями y=√x і u=3, навколо осі x.

Для цього слід застосувати формулу об'єму тіла, утвореного обертанням навколо осі Oy фігури, де y(x) - однозначна неперервна функція.

Першим кроком є знаходження меж інтегрування. Це зроблено шляхом знаходження точок перетину заданих ліній. В даному випадку, точка перетину ліній y=√x і u=3 буде знаходиться при x=9, оскільки при x=9, y=√x=3, що дорівнює u.

Тоді об'єм V можна обчислити за допомогою формули:

V = ∫[a, b] (π * (y(x))^2) dx

де a і b - межі інтегрування, в даному випадку a=0, b=3.

Таким чином, об'єм V можна обчислити за допомогою наступного інтеграла:

V = ∫[0, 3] (π * (√x)^2) dx

Це простий інтеграл, і його можна легко розв'язати.

Для отримання графічного зображення процесу обертання і утворення тіла, вам потрібно намалювати графіки функцій y=√x і u=3, а потім обернути цю область навколо осі x.