Question

В прямоугольном треугольнике ABC угол С=90 градусов, АС=8 см, угол АВС = 45 градусов. Найдите: а) АВ; б)высоту CD, проведенную к гипотенузе.

Answer 1

Угол В= 180-(90+45)=45°
следовательно, треугольник АВС равнобедренный и сторона АС=СВ=8
по теореме Пифагора найдём гипотенузу АВ:
8^2+8^2=АВ^2
АВ= 8 корней из 2
Т.к. в равнобедренном треугольнике высота равня биссектриссе и медиане, АD=DB, угол ACD=DCB=45°
рассмотрим треугольник ACD:
угол CAD=DCA=45°, следовательно, этот треугольник равнобедренный и прямоугольный.
по телреме Пифагора найдём CD:
8^2=( (8корней из2):2 )^2 +CD
отсюда CD=4корней из 2.

Answer 2

Решение:

Дано: - В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C = 90^\circ\) - Сторона \(AC = 8\) см - Угол \(ABC = 45^\circ\)

Нахождение стороны \(AB\):

Так как угол \(ABC = 45^\circ\), то угол \(BAC = 45^\circ\) (в прямоугольном треугольнике дополнительные острые углы являются комплементарными).

Теперь, поскольку угол \(BAC = 45^\circ\), а угол \(CAB = 90^\circ\) (так как это прямоугольный треугольник), то треугольник \(ABC\) является изоскелесным, и стороны \(AB\) и \(BC\) равны.

Следовательно, \(AB = BC\).

Используем теперь свойство прямоугольного треугольника: гипотенуза в два раза длиннее катета.

Таким образом, \(AB = BC = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\) см.

Нахождение высоты \(CD\), проведенной к гипотенузе:

Высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника. Таким образом, получаем два прямоугольных треугольника \(CDC_1\) и \(C_1AB\), где \(C_1\) - точка пересечения высоты с гипотенузой.

Из подобия треугольников \(CDC_1\) и \(C_1AB\) можно записать пропорцию:

\(\frac{CD}{AC} = \frac{C_1D}{C_1A}\)

Так как \(AC = 8\) см, а \(C_1A = AB = 4\sqrt{2}\) см, то

\(\frac{CD}{8} = \frac{C_1D}{4\sqrt{2}}\)

Отсюда можно выразить \(C_1D\):

\(C_1D = \frac{CD \cdot 4\sqrt{2}}{8} = \frac{CD \cdot \sqrt{2}}{2}\)

Также, из подобия треугольников \(CDC_1\) и \(C_1AB\) следует, что \(CDC_1\) и \(C_1AB\) равнобедренные, поэтому \(C_1D = C_1A - AD\), где \(AD\) - часть высоты, проведенной к гипотенузе.

Таким образом, \(C_1D = 4\sqrt{2} - AD\).

Подставляя выражение для \(C_1D\), получаем:

\(\frac{CD \cdot \sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} - AD\)

Отсюда можно найти \(AD\):

\(AD = 4\sqrt{2} - \frac{CD \cdot \sqrt{2}}{2}\)

Ответ:

а) Сторона \(AB = 4\sqrt{2}\) см

б) Высота \(CD\), проведенная к гипотенузе, равна \(AD = 4\sqrt{2} - \frac{CD \cdot \sqrt{2}}{2}\)