Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=2x^3+6x^2-1 на отрезке [-2;1]

Answer 1

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=2x^3+6x^2-1 на отрезке [-2;1]

Объяснение:

f(x)=2x³+6x²-1

f ’(х)=6х²+12х=6х(х+2),  f ’(х)=0.

6х(х+2)=0   ⇒х=0  или  х=-2.

Указанному отрезку принадлежат обе точки.

Определяем знаки производной при переходе через точки :

f ’      +[-2]------(0)------[1]+

x=–2 – точка максимума, производная меняет знак с + на – .

x=1 – точка минимума , производная меняет знак с - на + .

Найдем значения функции в найденных точках и на концах отрезка, чтобы выбрать наибольшее и наименьшее значение функции  :

f(-2)=2(-2)³+6(-2)²-1 =7,

f(1)=2*1³+6*1²-1 =7,

f(0)=2*0³+6*0²-1 =-1.

Наибольшее значение f(x)=7 на [-2;1] достигается в 2-х точках.

Наименьшее значение f(x)=-1 на [-2;1] достигается при х=0

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = 2x^3 + 6x^2 - 1\) на отрезке \([-2;1]\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производные функции \(f(x)\). 2. Найдите критические точки, где производная равна нулю или не существует. 3. Определите значения функции в найденных критических точках и на граничных точках отрезка.

Шаг 1: Найдем производную функции \(f(x)\): \[f'(x) = 6x^2 + 12x.\]

Шаг 2: Найдем критические точки, где производная равна нулю: \[6x^2 + 12x = 0.\]

Для нахождения критических точек, можно разложить выражение на множители: \[6x(x + 2) = 0.\]

Отсюда видно, что \(x = 0\) и \(x = -2\) - это критические точки.

Шаг 3: Теперь определим значения функции в найденных критических точках и на граничных точках отрезка \([-2;1]\):

a) \(f(-2) = 2(-2)^3 + 6(-2)^2 - 1 = -16 + 24 - 1 = 7.\) b) \(f(0) = 2(0)^3 + 6(0)^2 - 1 = -1.\) c) \(f(1) = 2(1)^3 + 6(1)^2 - 1 = 2 + 6 - 1 = 7.\)

Таким образом, наименьшее значение функции \(f(x)\) на отрезке \([-2;1]\) равно -1, а наибольшее значение равно 7.