Question

В равнобелренном треугольнике ABC медиана AM и биссектриса CE взаимно перпендикулярны. Найдите косинус угла ABC

Answer 1

Ответ: cos∡ABC=7/8

Объяснение:

Answer 2

Чтобы найти косинус угла ABC в равнобедренном треугольнике ABC, нам необходимо знать длины сторон треугольника.

Поскольку треугольник ABC - равнобедренный, стороны AB и AC равны. Обозначим их длину как a. Поскольку AM является медианой, она делит сторону BC пополам, поэтому BM и MC также равны a.

Также известно, что AM и CE взаимно перпендикулярны. Это означает, что угол BAC равен углу CEM, так как они являются вертикальными углами. Таким образом, угол BAC равен углу CEB, так как CE является биссектрисой угла BCA.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник CEB. У него известны две стороны - CE и CB (равные a), а также угол CEB, который равен половине угла BCA. Мы можем использовать закон косинусов для нахождения косинуса угла CEB:

cos(CEB) = (CE^2 + CB^2 - BE^2) / (2 * CE * CB)

Так как CE и CB равны, формула упрощается:

cos(CEB) = (2 * CE^2 - BE^2) / (2 * CE^2)

Теперь мы можем рассмотреть треугольник BEC. Из него известны две стороны - BE и BC (равные a), а также угол BEC, который равен половине угла ABC. Мы можем использовать закон косинусов для нахождения косинуса угла BEC:

cos(BEC) = (BE^2 + BC^2 - CE^2) / (2 * BE * BC)

Так как BE и BC равны, формула упрощается:

cos(BEC) = (2 * BE^2 - CE^2) / (2 * BE^2)

Поскольку углы CEB и BEC смежные, их сумма равна 180 градусам:

CEB + BEC = 180 градусам

cos(CEB + BEC) = -cos(CEB)

Таким образом, мы можем использовать формулу для суммы косинусов:

cos(CEB + BEC) = cos(CEB) * cos(BEC) - sin(CEB) * sin(BEC)

Используя упрощенные формулы для cos(CEB) и cos(BEC), мы можем записать:

-cos(CEB) = ((2 * CE^2 - BE^2) / (2 * CE^2)) * ((2 * BE^2 - CE^2) / (2 * BE^2)) - sqrt(1 - ((2 * CE^2 - BE^2) / (2 * CE^2))^2) * sqrt(1 - ((2 * BE^2 - CE^2) / (2 * BE^2))^2)

Теперь мы можем заменить значения CE и BE через сторону треугольника a:

-cos(CEB) = ((2 * (a/2)^2 - BE^2) / ((a/2)^2)) * ((2 * BE^2 - (a/2)^2) / BE^2) - sqrt(1 - ((2 * (a/2)^2 - BE^2) / ((a/2)^2))^2) * sqrt(1 - ((2 * BE^2 - (a/2)^2) / BE^2)^2)

Упростим это уравнение и решим его численно, используя заданные значения стороны a и длины BE. Это позволит нам найти косинус угла ABC.