Question

Докажите, что у равных треугольников АВС и А1В1С1 биссектрисы, проведенные из вершин А и А1, равны.

Answer 1

Доказательство и чертёж на приложенном изображении.

Answer 2

Доказательство равенства биссектрис треугольников

Для доказательства равенства биссектрис треугольников АВС и А1В1С1, проведенных из вершин А и А1, мы можем использовать следующий аргумент:

Утверждение: Биссектрисы треугольников АВС и А1В1С1, проведенные из вершин А и А1, равны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1. Пусть биссектриса из вершины А пересекает сторону ВС в точке D, а биссектриса из вершины А1 пересекает сторону В1С1 в точке D1.

Мы знаем, что биссектриса треугольника делит соответствующую сторону на две части, пропорциональные остальным двум сторонам треугольника. То есть, отношение длины стороны ВD к длине стороны CD равно отношению длины стороны ВА к длине стороны АС. Аналогично, отношение длины стороны В1D1 к длине стороны C1D1 равно отношению длины стороны В1А1 к длине стороны А1С1.

Таким образом, мы можем записать следующие пропорции:

1. ВD/CD = ВА/АС . 2. В1D1/C1D1 = В1А1/А1С1 .

Мы хотим доказать, что ВD = В1D1 и CD = C1D1.

Предположим, что ВD ≠ В1D1 или CD ≠ C1D1. Тогда, если мы подставим значения из пропорций (1) и (2) в эти неравенства, мы получим:

3. ВА/АС ≠ В1А1/А1С1.

Но это противоречит условию, что треугольники АВС и А1В1С1 равны. Поэтому, наше предположение неверно, и мы можем заключить, что ВD = В1D1 и CD = C1D1.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы треугольников АВС и А1В1С1, проведенные из вершин А и А1, равны.

Заключение

Мы доказали, что биссектрисы треугольников АВС и А1В1С1, проведенные из вершин А и А1, равны. Это следует из того факта, что биссектрисы делят соответствующие стороны треугольников пропорционально остальным двум сторонам.