Question

Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює 5 см а різниця довжин катетів дорівнює 2см . Знайти радіус вписаногокола.​

Answer 1

Ответ:

r = 2 см

Объяснение:

решение во вложении

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі спочатку знайдемо довжину гіпотенузи прямокутного трикутника, використовуючи медіану та різницю довжин катетів. Позначимо довжину медіани як "m" (5 см) і різницю довжин катетів як "d" (2 см).

Згідно з властивостями медіани, вона ділить гіпотенузу на дві рівні частини. Тому, якщо "c" - довжина гіпотенузи, то ми можемо записати:

c/2 = m

Отже, гіпотенуза дорівнює:

c = 2m = 2 * 5 см = 10 см

Тепер, коли ми знаємо довжину гіпотенузи, можемо знайти радіус вписаного кола в прямокутний трикутник, використовуючи відомий співвідношення між радіусом вписаного кола (r), площею трикутника (S), і полупериметром трикутника (p):

S = p * r

де

S - площа трикутника, p - полупериметр трикутника (півсума всіх трьох сторін).

Ми вже знаємо довжину гіпотенузи (c), і нам потрібно знайти довжини двох катетів. Позначимо довжину першого катета як "a" і довжину другого катета як "b". Ми знаємо, що різниця довжин катетів дорівнює 2 см:

b - a = 2 см

Також ми знаємо, що гіпотенуза дорівнює 10 см, і за теоремою Піфагора для прямокутних трикутників, ми маємо:

a^2 + b^2 = c^2

Підставимо значення a і b:

a^2 + (a + 2)^2 = 10^2

a^2 + (a^2 + 4a + 4) = 100

2a^2 + 4a + 4 - 100 = 0

2a^2 + 4a - 96 = 0

a^2 + 2a - 48 = 0

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня:

a = (-2 ± √(2^2 - 4 * 1 * (-48))) / (2 * 1)

a = (-2 ± √(4 + 192)) / 2

a = (-2 ± √196) / 2

a = (-2 ± 14) / 2

Так як a - довжина сторони трикутника, то a не може бути від'ємним. Отже, ми беремо тільки додатний корінь:

a = (14 - 2) / 2

a = 12 / 2

a = 6 см

Отже, перший катет дорівнює 6 см, а різниця довжин катетів (b - a) дорівнює 2 см, тому другий катет (b) дорівнює:

b = a + 2 см = 6 см + 2 см = 8 см

Тепер ми можемо знайти полупериметр трикутника (p):

p = (a + b + c) / 2 p = (6 см + 8 см + 10 см) / 2 p = 24 см / 2 p = 12 см

Тепер ми можемо знайти площу трикутника (S) за допомогою формули Герона:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) S = √(12 см * (12 см - 6 см) * (12 см - 8 см) * (12 см - 10 см)) S = √(12 см * 6 см * 4 см * 2 см) S = √(576 см^4) S = 24 см^2

Тепер ми можемо знайти радіус вписаного кола (r):

S = p * r

24 см^2 = 12 см * r

r = 24 см^2 / 12 см r = 2 см

Отже, радіус вписаного кола в прямокутний трикутник дорівнює 2 см.