Question

1. Круг вписан в круговой сектор с углом 2α. Найти отношение площади круга к площади сектора. 2. В окружность радиуса R вписан четырёхугольник ABCD, диагональ которого AC является диаметром окружности. Найти площадь треугольника ABC, если угол BAC равен α, а угол CAD равен β. Вторую задачу необязательно, но буду признательна, если поможете)

Answer 1

1) Окружности касаются внутренним образом, расстояние между центрами равно R-r. Окружность вписана в угол, ее центр лежит на биссектрисе, угол между линией центров и стороной равен a.

(R-r)/r= 1/sina <=> R/r= 1/sina +1 <=> r/R= sina/(sina+1)

Sк/Sс= пr^2 : пR^2*2a/360 = (r/R)^2 *180/a = (sina/(sina+1))^2 *180/a

2) AB=2R*cosa, BC=2R*sina

S=AB*BC/2 =R^2*2sina*cosa =R^2*sin(2a)

Или

Центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу, ∠BOC=2∠BAC=2a.

S(BOC)= R^2*sin(2a)/2

Медиана делит треугольник пополам.

S(ABC)=2S(BOC) =R^2sin(2a)

Answer 2

1. Найдем отношение площади круга к площади сектора. Пусть R - радиус круга, а α - угол в градусах между радиусами, ограничивающими сектор.

Площадь круга можно выразить как S_круга = πR^2.

Площадь сектора можно выразить как S_сектора = (α/360)πR^2, так как площадь сектора зависит от угла α, который составляет доля полного угла в 360 градусов.

Теперь выразим отношение площади круга к площади сектора:

Отношение S_круга к S_сектора = (πR^2) / ((α/360)πR^2)

Площади круга и радиус R сокращаются, и мы получаем:

Отношение S_круга к S_сектора = 360 / α

2. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, в который вписана окружность. По условию, диагональ AC является диаметром окружности радиуса R.

Поскольку диагональ AC - это диаметр окружности, она разделяет окружность на две половины. Таким образом, точка B и точка D являются концами одного и того же диаметра, а значит, BD также является диаметром окружности.

Теперь у нас есть два диаметра: AC и BD. Так как они пересекаются в центре окружности, то их пересечение является центром окружности. Обозначим центр окружности буквой O.

Треугольник ABC образован диаметром AC и углом в центре BOA. По свойствам центрального угла BOA, BOA = 2α (угол вписанный).

Таким образом, мы знаем, что угол BAC равен α. Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC:

S_треугольника ABC = (1/2) * AB * AC * sin(BAC)

Мы знаем, что AB = R (половина диаметра), AC = R (диаметр окружности), и угол BAC равен α.

S_треугольника ABC = (1/2) * R * R * sin(α) = (1/2) * R^2 * sin(α)

Таким образом, площадь треугольника ABC равна (1/2) * R^2 * sin(α), где α - угол BAC.