Question

Центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту , проведенную к основанию , на отрезки длиной 34см и 16см. Найти площадь данного треугольника. ​

Answer 1

Дан треугольник АВС: АВ=ВС. O- центр вписанной окружности ВО=34 см, ОН=16 см.

ВН - высота равнобедренного треугольника. ВН=50 см

К, Т.Н- точки касания окружности со сторонами треугольника.

ОК,ОН,ОТ - радиусы вписанной окружности

Найти площадь треугольника.

Решение.

Высота равнобедренного треугольника является и биссектрисой и медианой.

Значит АН=НС

Угол АВН равен углу СВН.

Треугольники КВО и ВОТ равны между собой по катету (ОК=ОТ) и острому углу.

Из равенства треугольников ВК=ВТ

По теореме Пифагора ВТ²=ВО²-ОТ²=34²-16²=(34-16)(34+16)=18·50=900

ВТ=30 см

ВК=ВТ=30 см

Центр вписанной окружности- точка пересечения биссектрис.

Треугольник равнобедренный, угол А равен углу С.

Биссектрисы АО и СО делят эти углы пополам.

Углы КАО, НАО, ТСО, НСО равны между собой.

И треугольники КАО, АОН, НОС, СОТ равны между собой по катету и острому углу.

ОК=ОН=ОТ= r - радиусу вписанной окружности.

Из равенства треугольников АК=АН=НС=СТ= х

Рассмотрим треугольник АВН.

По теореме Пифагора АВ²=АН²+ВН²

(30+х)²=х²+50²

900+60х+х²=х²=2500,

60х=1600

х=80/3

АН=80/3

S=1/2 АС·ВН= АН·ВН=80/3 · 50= 4000/3 кв. см

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим свойства вписанных окружностей и равнобедренных треугольников.

1. Свойство вписанной окружности: Внутри равнобедренного треугольника вписанная окружность делит каждый биссектрису (высоту, проведенную к основанию) на два отрезка, при этом эти отрезки равны. Таким образом, длина более короткого отрезка высоты равна 16 см, а длина более длинного отрезка равна 34 см.

2. Свойство равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, делит его на два равных треугольника.

Итак, у нас есть два треугольника с высотой 34 см и 16 см, каждый из которых равен по площади, потому что они разделены биссектрисой равнобедренного треугольника. Площадь каждого из этих треугольников можно найти, используя формулу площади треугольника:

\[ \text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \]

Для первого треугольника с высотой 34 см:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 34 \, \text{см} \times 34 \, \text{см} = 578 \, \text{см}^2 \]

Для второго треугольника с высотой 16 см:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 16 \, \text{см} \times 16 \, \text{см} = 128 \, \text{см}^2 \]

Так как оба эти треугольника имеют равные площади, площадь данного равнобедренного треугольника равна сумме площадей этих двух треугольников:

\[ \text{Площадь треугольника} = 578 \, \text{см}^2 + 128 \, \text{см}^2 = 706 \, \text{см}^2 \]